Chuletas y apuntes de Matemáticas

Mediatriz de un Segmento

Para hallar la mediatriz del segmento que tiene sus extremos en los puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂):

• Punto Medio (M): Se calcula el punto medio M del segmento AB: M((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
• Pendiente Perpendicular: Se halla la pendiente del segmento AB (m_AB = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)) y luego la pendiente de la mediatriz (m_mediatriz = -1/m_AB).
• Ecuación de la Recta: Se aplica la ecuación punto-pendiente: y - y_M = m_mediatriz(x - x_M).

Circuncentro de un Triángulo

Para calcular el circuncentro de un triángulo cuyos vértices son A, B y C:

• Mediatriz del lado AB (r): Se calcula la mediatriz del lado AB siguiendo los pasos anteriores (punto medio, pendiente perpendicular, ecuación punto-pendiente).
• Mediatriz del lado AC (s): Se calcula la mediatriz

EDAT MODERNA (1453-1789)

-Comença amb la caiguda de l'Imperi Romà d'Orient.

-Acaba amb la revolució Francesa

CANVIS

Creixement econòmic (a nivell econòmic)

Enriquiment de la burgesia (a nivell social)

Enfortiment de la monarquia (a nivell demogràfic)

El rei enforteix la seva autoritat (a nivell polític)

Canvia la seva manera de pensar. Teo –– Auto-cèntrica (Humanisme)

PERQUÈ L'EDAT MODERNA COMENÇA AL S.XV?

1) La recuperació demogràfica i econòmica:

Increment de la població:

- Desaparició de grans epidèmies (ex. pesta negra)

- Augment de la natalitat

2) Desenvolupament del comerç

Comerç augmenta:- Producció artesanal

- Desenvolupament manufactures

- Creixement de les ciutats i ports

Aquestes activitats les feien la burgesia

3) Desenvolupament... Continuar leyendo "Edat Moderna: Canvis i Desenvolupament" »

SUMA

Adición números enteros con valor absoluto

(+3)+(+2) = [(3,0)] + [(2,0)] = [(3+2,0)] = [(5,0)]

(-3)+ (+2) = [(0,3)] + [(2,0)] = [(2,3)] = [(0,1)] = -1

Propiedades de la adición en N:

Clausura: La suma de dos números naturales es otro número natural.

Asociativa: (a+b)+c = a+(b+c)

Commutativa: a+b = b+a

Existencia de elemento neutro: el natural 0; a+0=0+a = a, ∀ a ∈ N

Propiedades de la adición en Z:

Clausura: La suma de dos números enteros es otro número entero.

Asociativa: (a+b)+c = a+(b+c)

Commutativa: a+b = b+a

Existencia de elemento neutro: el natural 0; a+0=0+a = a, ∀ a ∈ N

Existencia del elemento simétrico de (a,b) será (b,a), porque (a+b , b+a) es un elemento de la clase del (0,0). Al elemento simétrico por la adición de cualquier... Continuar leyendo "Propiedades de la adición y divisibilidad en matemáticas" »

Temas Avanzados en la Teoría de la Producción

Introducción al Cálculo Diferencial e Integral

El cálculo diferencial e integral, conocido como cálculo, es la base del análisis matemático de los fenómenos en movimiento o cambio.

• Cálculo diferencial: Se centra en determinar la derivada de una función.
• Cálculo integral: Se refiere al problema inverso, es decir, determinar la función cuando se conoce su derivada.

El cálculo diferencial e integral constituye un importante método de análisis marginal, el cual se refiere a una relación de cambios, o sea, la variación en el margen. Esto se expresa analíticamente como la primera derivada de una función.

Conceptos Clave

• Costo total: Es una función de la cantidad producida y, a menudo, varía

A) Circunferencias que pasan por 2 puntos y son tangentes a una recta.

1. Trazamos la recta "e.r." que une los dos puntos dados. Esta será el eje radical de ambas circunferencias solución. El punto de corte "0" del eje radical con la recta dada será el punto medio del segmento tangente común a las dos circunferencias.
2. Trazamos la recta "r.c." que será la recta donde se encuentren los centros de las circunferencias solución.
3. Trazamos una circunferencia auxiliar de centro "03" situado en cualquier punto de la recta de centros; tenemos que hacer pasar dicha circunferencia por los dos puntos dados. Al pasar por los puntos dados implica que la recta "e.r." será también eje radical de dicha circunferencia.
4. Desde el punto "0" trazamos la tangente

6. Calcula la escala numérica a la que se encuentra elaborado el siguiente mapa, si el segmento mide 2 cm y la distancia real entre San Salvador y San Marcos es 6.3 km (630,000 cm)

7. Dos números sumados dan 14 y multiplicados dan 24. Encuentra estos números.

8. Una ecuación cuadrática tiene como soluciones a 3 y -2. Encuentra la ecuación.

9. En el siguiente plano se muestra una función de la forma y = x^2 + c.

• a) ¿Cuál es el valor de c?
• b) Traza la gráfica de la función que es simétrica respecto al eje x.  

10. En la figura, FDCB es un paralelogramo, los puntos A, E y C son colineales y además, se conocen las medidas de algunos lados. ¿Cuál es el valor de x

11. La diferencia del valor máximo y el mínimo de la función y = ax^2 en... Continuar leyendo "Problemas de Matemáticas" »

Angelu baten erdilaria

1. Angelu bat marraztu.
2. Konpasarekin nahi duzun distantzia hartu eta orratza R puntuan jarriz, angelua osatzen duten bi zuzenerdiak moztu, mozketak A eta B puntu izendatuz.
3. Konpasarekin A-B distantzia hartu eta orratza A puntuan jarriz, angeluaren kanpoaldean marka bat egin.
4. Aurreko pausoa errepikatu, baina orratza B puntuan jarriz eta marka moztu. Bi markak elkartzen diren lekuan C puntua marraztu.
5. C eta R puntuak lotu zuzen batekin.

Angelu bat bikoiztea

1. Angelu bat marraztu.
2. Konpasarekin nahi duzun distantzia hartu eta bi aldeak moztu, A eta B puntuak marraztuz.
3. Konpasarekin A-B distantzia hartu, orratza A puntuan jarri eta angeluaren kanpoaldean marka bat egin.
4. Konpasarekin R-B distantzia hartu, orratza R puntuan jarri eta aurreko

Hipótesis

HIPÓTESIS: Es una técnica estadística que se centra en rechazar o no una hipótesis estadística sobre una o más características de una población midiendo el estado de una o más variables y comprobando si se corresponden con los valores esperados.

Contraste de Hipótesis

En un contraste intervienen dos hipótesis:

• La Hipótesis Nula, H0: Es la hipótesis que se desea contrastar. Suele ser una afirmación preestablecida acerca de la población, que debe aceptarse salvo que nuevos datos demuestren que ha habido un cambio.
• La Hipótesis Alternativa H1: Es excluyente de H0 y se acepta cuando a partir de la muestra existe una evidencia para rechazar H0, solo será aceptada si recibe una ratificación importante por parte de las observaciones

Diferenciación Numérica con Polinomios de Lagrange

Introducción a la Diferenciación Polinomial

Si la aproximación es polinomial y se utiliza el criterio de ajuste exacto (en contraste con la aproximación por mínimos cuadrados, donde la diferenciación numérica consistiría en diferenciar el polinomio que mejor ajuste la información tabulada), la diferenciación numérica consiste simplemente en derivar la fórmula del polinomio interpolante utilizado.

En general, si f(x) = p_n(x) + R_n(x), donde R_n(x) es el error cometido al aproximar f(x) por p_n(x), entonces la aproximación de la primera derivada se obtiene como:

O, en general:

(6.1)

Al diferenciar la fórmula fundamental de Newton, se obtiene:

(6.2)

donde es el error cometido al aproximar... Continuar leyendo "Diferenciación Numérica con Polinomios de Lagrange: Métodos y Aplicaciones" »

Ejercicio 1: Análisis de Datos de Salud

a) Obtener las tablas de frecuencias para las variables “Grupo de edades” y “Nivel de colesterol en la sangre”.

Datos → Ponderar casos.
Analizar → Estadísticos descriptivos → Frecuencias.
Introducimos las variables y Aceptar.

b) Realizar un estudio de la variable “Nivel de colesterol en la sangre” distinguiendo para cada grupo de edades.

Analizar → Estadísticos descriptivos → Explorar.
En Variable Dependiente, introducimos la variable sobre la que queremos realizar el análisis descriptivo (Nivel de colesterol en la sangre) y en Factores introducimos la variable que nos distinguirá los diferentes grupos dentro de la muestra (Grupo de edades).

c) ¿Cuál es el nivel de colesterol