Chuletas y apuntes de Matemáticas

Tangencia: Fundamentos y Construcciones Clave

La tangencia es un concepto fundamental en geometría, esencial para el diseño y la resolución de problemas gráficos. A continuación, se detallan los métodos de construcción para diversas situaciones de tangencia entre rectas y circunferencias.

2. Rectas Tangentes a Dos Circunferencias de Distinto Radio

Este apartado aborda la construcción de rectas que son tangentes simultáneamente a dos circunferencias con radios diferentes.

2.1 Rectas Tangentes Exteriores a Dos Circunferencias

Para trazar las rectas tangentes que no cruzan el segmento que une los centros de las circunferencias:

1. Trazar una circunferencia auxiliar concéntrica a la circunferencia mayor, con un radio igual a la diferencia de los

Escenario: Selección de Muestra en un Liceo

En un liceo estudian 350 alumnos de ciclo básico y 150 de bachillerato. Se desea seleccionar una muestra de 50 alumnos. A continuación, se explica cómo hacerlo utilizando diferentes técnicas de muestreo:

Datos del Problema:

• Población total: 350 (ciclo básico) + 150 (bachillerato) = 500 alumnos
• Tamaño de la muestra deseada: 50 alumnos

Métodos de Selección de Muestra:

a) Muestreo Aleatorio Simple

Se eligen 50 estudiantes al azar del total de 500 alumnos. Cada estudiante tiene la misma probabilidad de ser seleccionado. Se debe asegurar que un estudiante seleccionado no pueda ser elegido nuevamente (muestreo sin reemplazo).

b) Muestreo Aleatorio Sistemático

1. Calcular el intervalo de muestreo (k): k =

Estratificació Social: Definició

Estratificació Social. Definició. Procés en virtut del qual una societat determinada queda dividida en estrats o agregats, cadascun dels quals entranya un grau distint de prestigi, propietat i de poder.

D'aquesta definició se'n desprèn que:

Els individus d'un mateix estrat manifesten conductes de compra homogènies. Es produeixen comparacions de superioritat/inferioritat i, per tant, la compra o la realització d'activitats d'alguna de les classes és senyal del desig d'ascensió dins de la jerarquia social.

Característiques:

1) És una forma característica d'estratificació d'aquelles societats modernes on s'hi ha desenvolupat una clara divisió del treball. 2) El concepte de classe social identifica a... Continuar leyendo "Estratificació Social: Definició, Característiques i Components" »

1. Dia 8

   1. La regíón rayada representa todas las posibles soluciones de una inecuación

3y - 2x < 4

2. Qué regíón del plano x-y está delimitada por el siguiente conjunto

Opción 3

3. Una industria de lácteos tiene dos productos

Opción 2

4. Una compañía elabora un producto que tiene un precio unitario de venta de

Opción 1

5. La solución de un problema de programación lineal viene dada por la regíón

Opción 1

6. El gráfico representa las posibles combinaciones de productos, en cientos de unidades, en relación con los costos de producción, en miles de dólares, de x pantalones y camisas. La función de costo está expresada por C(x,y)=7x+8y+90. Determine la cantidad de pantalones y camisas, en cientos de unidades, que minimizan el costo

Oro necesario para tener la habilidad de un héroe/villano a nivel 6:

Personajes normales: 1.045.000 de oro

Personajes de la Orden Negra y otros desconocidos

Antimateria de rango 6:

1 gota: 15.705.580 - 10.205.580 = 5.500.000 de oro.

Antimateria necesaria: 800 × 4 = 3.200 de antimateria para las 4 gotitas

Subida de personajes de la Orden Negra:

6 antimaterias de rango 2

5 antimaterias de rango 3

4 antimaterias de rango 4

3 antimaterias de rango 5

2 antimaterias de rango 6

Antimaterias:?

Maestría: 1140 en total

Oro:?

Subida de personajes: Odin, Thanos, Dormammu

12 antimaterias de rango 2

10 antimaterias de rango 3

8 antimaterias de rango 4

6 antimaterias de rango 5

4 antimaterias de rango 6

Antimateria: 8.812

Maestría: 2700 en total

Oro: 66.450.000

Introducción

Para maximizar o minimizar con restricciones se aplican diferentes métodos: multiplicadores de Lagrange, Kuhn-Tucker y programación lineal. Cuando se tienen restricciones de igualdad se aplica el método de Lagrange, mientras que cuando se tienen restricciones de desigualdad se aplican Kuhn-Tucker o programación lineal. La maximización con Kuhn-Tucker se utiliza cuando se tienen soluciones esquina y desigualdades en las restricciones. Además, puede ser aplicada con funciones no lineales. El procedimiento de Kuhn-Tucker se presenta en Chiang (2006) “Métodos Fundamentales de Economía Matemática”.

Condiciones de Kuhn-Tucker

Para una función f(x₁, x₂) sujeta a la restricción a₁x₁ + a₂x₂ ≤ y, el Lagrangiano se define como:... Continuar leyendo "Maximización con Restricciones: Método de Kuhn-Tucker" »

Análisis Factorial

Charles Spearman (1904), Thurstone (1935), Sociedad de Psicometría (1936)

El análisis factorial es una técnica estadística multivariada que se incorpora a la metodología cuantitativa y que involucra variables latentes.

Las variables no observables, o variables latentes, no pueden medirse directamente; estas se estiman a través de variables manifiestas.

Ejemplos de Variables Latentes:

• Inteligencia
• Nivel de ansiedad
• Nivel socioeconómico
• Grado de satisfacción

Variables Manifiestas:

• Respuesta del examen
• Aciertos en el examen
• Intensidad de lanzamiento
• Número de computadoras en una vivienda

Objetivo del Análisis Factorial:

Estudiar la estructura de correlación entre un grupo de variables de medidas, asumiendo que dicha relación puede... Continuar leyendo "Introducción al Análisis Factorial y la Teoría de Conjuntos" »

Probabilidad Total

P(B) = P(B|A₁) P(A₁) + P(B|A₂)P(A₂) + ... + P(B|A_n)P(A_n)

Teorema de Bayes

P(A_k|B) = P(B|A_k)P(A_k) / (P(B|A₁) P(A₁) + P(B|A₂)P(A₂) + ... + P(B|A_n)P(A_n))

Variaciones sin repetición

Sean m, n dos números naturales tales que (m ≥ n). Sea un conjunto formado por m elementos distintos. Llamaremos variación sin repetición (o simplemente variación) de esos m elementos tomados de n en n, a todo grupo ordenado formado por n elementos distintos de los m, de tal manera que dos variaciones o grupos se consideran distintas si:

• Difieren en alguno de sus elementos
• O bien teniendo los mismos elementos difieren en el orden de colocación

El número total de variaciones de m elementos tomados de n en n es:

V_m,n = m!/(m-n)!

Variaciones con repetición

Sea... Continuar leyendo "Teorema de Bayes y Variaciones, Permutaciones y Combinaciones" »

Tipos de Funciones

f(x) = [x] (b) es una función valor absoluto

f(x) = √x (i) es una función radical

f(x) = 1/x (a) es una función racional

f(x) = x² (c) es una función cuadrática

Dominio de una Función

La función f(x) = √(x-3) tiene como dominio: Dom (f) = { x ∈ R / x ≥ 3 }

La función f(x) = (x-2)/(x-9) tiene como dominio: Dom (f) = { x ∈ R / x ≠ 9 }

Propiedades de Funciones

• La gráfica de la función logarítmica pasa por el punto (1,0).
• El recorrido de la función exponencial f(x) = a^x es el intervalo (0, ∞).
• El recorrido de la función seno es el intervalo [-1, 1].
• Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Ejercicios de Logaritmos

El log_b(1/49) = -2, ¿cuál es el valor de b? C. 7

El log₅625 = x,... Continuar leyendo "Fundamentos de Matemáticas: Explorando Funciones, Logaritmos y Cónicas" »