Chuletas y apuntes de Matemáticas

Ya estamos preparados para realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división de funciones, en la misma forma como se realiza en aritmética; lo diferente aquí es que trabajaremos con funciones. De manera que si tenemos dos funciones como f(x)=3x-2 y g(x) = x + 3, entonces, podemos sumarlas, restarlas, multiplicarlas y dividirlas, con la ayuda de las siguientes definiciones generales:

1 adición de funciones.
Si f y g son funciones, la suma f+ g es la función definida por (f+g)(x) =f (x) + g(x).
2 Sustracción de funciones.
Su diferencia f g es la función definida por (f-g)(x) = f(x) - g(x).
3 Producto de funciones.
El producto f g es la función definida por (f. G)(x) = f(x) • g(x).
(£)(x)-(x); 8(x)- 0
4 División de funciones.

Fundamentos de la Investigación Científica

1. El resumen constituye una versión concisa del planteamiento del problema, objetivos, métodos, resultados más importantes y conclusiones más relevantes.

   • a) Falso
   • b) Verdadero ✅

2. Son referencias utilizadas por el investigador para elaborar su marco teórico. Corresponde al concepto de:

   • a) Anexos
   • b) Apéndices
   • c) Bibliografía ✅
   • d) Todos

3. La evaluación previa del problema, sus alcances e importancia, así como los recursos que serán necesarios para el desarrollo del trabajo de investigación, se denomina:

   Respuesta: Evaluación de factibilidad o estudio preliminar.

4. Una síntesis del contenido esencial del informe es:

   • a) Resumen ✅
   • b) Apéndice
   • c) Índice

5. El método es la parte que describe cómo fue llevada

Para encontrar el rango de los datos, debemos encontrar el valor máximo y el valor mínimo, y luego restar el mínimo del máximo.

Valor máximo: 10
Valor mínimo: 4

Rango = Valor máximo - Valor mínimo
Rango = 10 - 4
Rango = 6

Por lo tanto, el rango de los datos es 6.

Para encontrar la media aritmética, debemos sumar todos los valores y dividir por el número total de valores.

Valores: 8, 4, 4, 5, 6, 5, 4, 4, 6, 6, 10

Suma: 8 + 4 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 4 + 6 + 6 + 10 = 62

Número total de valores: 11

Media aritmética = Suma / Número total de valores
Media aritmética = 62 / 11
Media aritmética = 5,64

Por lo tanto, la media aritmética es aproximadamente 5,64.

Para encontrar la desviación media, debemos seguir los siguientes pasos:

1. Calcular la media

Conceptos Fundamentales en Métodos de Proyección y Modelos Estadísticos

14. ¿Qué buscan los métodos de proyección?

Tratan de encontrar el patrón total de los datos para proyectarlos al futuro. Los métodos principales son:

• Promedios Móviles
• Suavización Exponencial
• Box-Jenkins

15. ¿Qué es un modelo econométrico?

Un modelo econométrico es un sistema de ecuaciones de regresión interdependientes que describe algún sector de actividades económicas, ventas o utilidades.

16. ¿Para qué sirven las encuestas de compra y anticipaciones realizadas al público?

Sirven para determinar:

1. Las intenciones de compra de ciertos productos.
2. Derivan un índice que mide el sentimiento general sobre el consumo presente y futuro y estiman cómo afectan estos

          LENGUAJE ALGEBRAICO

Es una forma descriptiva que relaciona los números reales con las letras, pueden ser X, Y, W, Z, T (Las ultimas letras del abecedario)

También incluye constantes que normalmente utilizan A, B, C (Las primeras letras del abecedario)

COEFICIENTE: Es un valor numérico que pertenece a los reales y que siempre va a estar antes de la variable (termino: 5xy2=su coeficiente es el 5)

VARIABLES: Es una letra literaria que puede adaptar cualquier valor (x, y)

EXPONENTE: Es un valor numérico o literal que siempre indica el grado en el que se encuentra la variable puede ser cuadrado, cubico, polinomial (1, 2)

CONSTANTE: Valor numérico real que siempre acompaña una expresión sumando algebraicos

LEYES DE LOS EXPONENTES (

Funciones Polinómicas de Primer Grado (Lineales)

Forma general: $f(x) = mx + n$.

El parámetro $m$ representa la pendiente (inclinación) de la recta.

Comportamiento según la Pendiente ($m$)

• Si $m > 0$, la función es creciente.
• Si $m < 0$, la función es decreciente.
• Si $m = 0$, la función es constante ($f(x) = n$).

Tipos Específicos

• Función Lineal General: $m eq 0$.
• Función de Proporcionalidad Directa: $m eq 0$ y $n = 0$ ($f(x) = mx$).
• Función Constante: $m = 0$.

Funciones Polinómicas de Segundo Grado (Cuadráticas)

Forma general: $y = ax^2 + bx + c$. Su gráfica es una parábola.

Vértice de la Parábola

La coordenada $x$ del vértice se calcula mediante la fórmula:

$$x_v = \frac{-b}{2a}$$

Orientación y Extremos

• Si $a > 0$, la parábola

Conceptos Fundamentales de Matemáticas

Números Enteros y Productos

El saldo de una cuenta es de 2500 - 1100 €.

Si el producto de dos números enteros es positivo: son ambos positivos o ambos negativos.

Si el producto de dos números enteros es negativo: alguno es positivo.

Si la diferencia de 2 números enteros a - b es negativa: no puede ser a positivo y b negativo.

El producto de los opuestos de dos números enteros es igual al producto de ambos.

Si a es un número negativo, entonces -a₂ es negativo.

Si a y b son números enteros, entonces a²b - ab₂ es igual a: ab(a - b).

Fracciones

Dos fracciones x.m/y.n son equivalentes si: x.n/y.m = 1.

La fracción 78/91 es equivalente o igual a: 6/7.

La fracción 17/9 no es equivalente a: 238/135.

La suma de las... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Matemáticas: Números, Fracciones y Geometría" »

Respuesta en Frecuencia: Diagramas de Bode

A continuación se detallan las características de magnitud y fase para los componentes fundamentales de un sistema de control.

1. Ganancia (K)

Función de transferencia: $G(s) = K$   |   $G(j\omega) = K$

• Ganancia: $|G(j\omega)| = \sqrt{0^2 + K^2} = K$
• En decibelios: $20 \log(|G(j\omega)|) = 20 \log K$
• Fase: $\arg(G(j\omega)) = \arctan(0 / K) = 0^\circ$

Representación:

• Magnitud: Línea horizontal constante en $20 \log K$ dB.
• Fase: $0^\circ$ constante.

2. Integrador (1/s)

Función de transferencia: $G(s) = 1/s$   |   $G(j\omega) = 1 / (j\omega)$

• Ganancia: $|G(j\omega)| = \frac{\sqrt{0^2 + 1^2}}{\sqrt{\omega^2 + 0^2}} = 1 / \omega$
• En decibelios: $20 \log |G(j\omega)| = 20 \log 1 - 20 \log \omega = -20 \log

Problema 1: Estimación de la Media Poblacional

En una encuesta se pregunta a 10.000 personas cuántos libros leen al año, y se obtiene una media de 5 libros. Se sabe que la población tiene una distribución normal con desviación típica 2.

a) Intervalo de Confianza al 80%

Halla un intervalo de confianza al 80% para la media poblacional.

b) Tamaño Muestral para un Error de Estimación Específico

Para garantizar un error de estimación de la media poblacional no superior a 0,25 con un nivel de confianza del 95%, ¿a cuántas personas como mínimo sería necesario entrevistar?

Problema 2: Proporción Poblacional y Muestreo

Ante una medida adoptada por el Gobierno, se sabe que el 35% de la población está a favor de dicha medida. Se toma una muestra

ui

:

trmino d prturbacion alatoria. St trmino rcog la alatoriedad prsnt en ls rlacions entr variabls económicas. Al introducir ui la ecuación s stocastica en lugar d dtrminista7 y, x tanto, + adcuada xa rprsntar la ralidad económica. Razons concrtas x ls q introducir ui en la ecuación: ui s la suma d innumrabls factors d pqña magnitud q incidn globalmnt sobr la variabl dpndient y q no stan prsnts en la ecuación. s dcir, rprsnta la suma d to2 aqyos factors explicativos d y
q, x cualkier razón, no stan contni2 en ls rgrsors xji, también s justifica su introducción x la existncia d errors d mdida en ls variabls, q ac q la rlacion entryas no sa prfcta. Y, x ultimo, x la agrgacion d ls datos económicos, lo q también provoca q ls rlacions... Continuar leyendo "Fundamentos de Econometría: El Término de Perturbación y Problemas de Especificación del Modelo" »