Chuletas y apuntes de Matemáticas

Sistema lineal

Un sistema es lineal cuando cumple el principio de superposición (homogeneidad y aditividad)

Si x1[n]->y1[n] y x2[n]->y2[n] se cumple ax1[n]+bx2[n]-->ay1[n]+by2[n]

Sistema FIR

La respuesta al impulso de un sistema FIR tiene un número finito de términos

Sistema IIR

La respuesta al impulso de un sistema IIR tiene un número infinito de términos

Sistema invariante en t

Un sistema es invariante si un desplazamiento o retardo en la secuencia de entrada provoca el mismo desplazamiento o retardo en la secuencia de salida.

Sistema estable en sentido BIBO:

Un sistema es estable en sentido BIBO si y solo si cualquier secuencia acotada a su entrada produce una secuencia de salida acotada. Si |x[n]<=Bx<inf, entonces |y[n]|<=... Continuar leyendo "Fundamentos de Sistemas Discretos y Procesamiento Espectral con FFT" »

Conceptos Fundamentales de Estadística

Parámetro vs. Estadístico

• Parámetro: Es un valor numérico que describe alguna característica de una población, empleando todos los datos de dicha población.
• Estadístico: Es un valor numérico que describe alguna característica de una muestra.

Variables y Variabilidad

• Variable: Característica que puede tomar diferentes valores.
• Variabilidad: Grado en el que los valores de la variable difieren entre sí.

Espacio Muestral y Eventos

• Espacio muestral: Se denomina así al conjunto de todos los posibles resultados de un estudio aleatorio. Usualmente es denotado con la letra griega omega (Ω).
• Punto muestral: Es cada uno de los posibles resultados de un estudio aleatorio, es decir, cada elemento de Ω.
• Evento:

Conceptos Fundamentales en Machine Learning y Modelado Predictivo

Regresión Lineal Múltiple

Ecuación y Parámetros

La ecuación de regresión lineal múltiple con tres variables se expresa como:

ŷ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + β₃x₃

Donde:

• ŷ es el valor predicho de la variable dependiente.
• β₀ es el intercepto (o término constante).
• β₁, β₂, β₃ son los coeficientes de las variables independientes x₁, x₂, x₃, respectivamente. Estos coeficientes representan el cambio promedio en ŷ por cada unidad de cambio en la variable independiente correspondiente, manteniendo las otras variables constantes.

Gradiente Descendente: Optimización de Modelos

El Parámetro α (Tasa de Aprendizaje)

El parámetro α, conocido como la tasa

Análisis de Elementos Finitos en Estructuras

Fuerzas en los Extremos de una Barra

Las fuerzas F representan el conjunto de todas las fuerzas en los extremos de la barra, sin diferenciar su origen. En una barra sujeta por los dos extremos son las fuerzas que ejerce el resto de la estructura sobre la barra aislada.

F_e = f_{v,t e} + f_r,c + f_r,s

donde:

• f_{v,t e} = fuerzas nodales equivalentes
• f_r,c = fuerzas nodales reactivas de contacto
• f_r,s = fuerzas nodales reactivas en los apoyos

Como es una viga de Timoshenko, la flexión usando funciones de forma es la que gobierna la solución homogénea de las ecuaciones diferenciales (función de forma naturales), es decir, proporcionan los valores exactos de desplazamientos y esfuerzos en los nodos, por tanto, se seleccionarían... Continuar leyendo "Análisis de Elementos Finitos en Estructuras: Tipos, Modelos y Aplicaciones" »

Conceptos Clave en Estadística y Probabilidad

Varianza de la Resta de Variables Aleatorias

Pregunta: ¿Cuál es la varianza de la resta de dos variables aleatorias cualesquiera?

Respuesta: Es la suma de sus varianzas menos dos veces la covarianza entre ellas.

Independencia y Covarianza

Afirmación: Si dos variables son independientes, su covarianza es cero. (Correcta)

Función de Densidad

Propiedad: La función de densidad toma el valor uno si se integra en todo el recorrido de la variable. (Correcta)

Diferencia entre Índices de Laspeyres y Paasche

Pregunta: ¿En qué se diferencia el índice de Laspeyres del de Paasche?

Respuesta: Ambos índices son medias aritméticas (ponderadas), pero el índice de Laspeyres se construye con ponderaciones p_i0q_i0,... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Estadística: Variables Aleatorias y Axiomas" »

Transformaciones Lineales

Definición y Ejemplos

Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales que respeta la estructura algebraica. Es decir, cumple las siguientes propiedades:

1. Aditividad: T(u + v) = T(u) + T(v) (preserva la suma de vectores).

2. Homogeneidad: T(c·v) = c·T(v) (preserva el producto por escalares).

Ejemplos:

• T(x, y) = (2x, 3y) es una transformación lineal.

• T(x, y) = (x+1, y) no es lineal, porque la suma de la constante "+1" rompe la propiedad de homogeneidad (por ejemplo, T(c·x, c·y) = (c·x+1, c·y) que no es igual a c·T(x, y) = (c·x+c, c·y)).

Se puede pensar en T como una máquina que transforma vectores, estirándolos, rotándolos, proyectándolos, o realizando otras operaciones que mantienen la linealidad.... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Transformaciones y Diagonalización" »

Fundamentos de la Geometría Analítica y Lugares Geométricos

La Geometría Analítica estudia, en términos generales, dos tipos de problemas:

1. El primero es obtener la gráfica que corresponde a una ecuación dada.
2. El segundo tipo de problema consiste en determinar la ecuación del lugar geométrico, dadas la condición o condiciones geométricas que cumplen los puntos pertenecientes a ese lugar geométrico. Este segundo problema es el foco del presente estudio.

Definición de Lugar Geométrico

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen, al menos, una condición común a todos ellos o, dicho de otra forma, un punto que se mueve de tal manera que siempre cumple, al menos, una condición determinada.

Entre los lugares geométricos... Continuar leyendo "Determinación de Ecuaciones de Lugares Geométricos: Cónicas y Rectas Fundamentales" »

Comentarios de Desviación Económica

MP - Si la desviación es positiva, significa que el costo de la materia prima (MP) se ha reducido. Si es negativa, indica que ha aumentado y, por lo tanto, es más cara.

• Si + = coste reducido
• Si - = coste aumentado

MOD - Si la desviación es positiva, significa que el costo de la hora de trabajo (MOD) se ha reducido. Si es negativa, indica que ha aumentado y, por lo tanto, es más cara.

• Si + = coste reducido
• Si - = coste aumentado

Comentario de la Desviación Técnica

MP - Si la desviación es positiva, significa que se ha consumido menos MP de lo previsto para fabricar. Si es negativa, indica que se ha necesitado más MP de lo previsto.

• Si + = coste reducido
• Si - = coste aumentado

MOD - Si la desviación es positiva,... Continuar leyendo "Análisis de Desviaciones en Costos de Producción" »

Fórmulas Trigonométricas Fundamentales

• sen(α) = Cateto opuesto / Hipotenusa
• cos(α) = Cateto contiguo / Hipotenusa
• tg(α) = Cateto opuesto / Cateto contiguo
• Identidad Pitagórica Fundamental: sen²(α) + cos²(α) = 1
• Relación Tangente-Seno-Coseno: tg(α) = sen(α) / cos(α)
• Identidad Secante: 1 + tg²(α) = sec²(α)

Conceptos y Aplicaciones Trigonométricas

Razones Trigonométricas de Ángulos Notables (0°, 30°, 45°, 60°, y 90°)

Valores clave para los ángulos más comunes:

• Seno: 0, ½, √2/2, √3/2, 1
• Coseno: 1, √3/2, √2/2, ½, 0
• Tangente: 0, √3/3, 1, √3, indefinida

Relación entre Razones Trigonométricas Recíprocas

• sen(α) → cosec(α) (Cosecante)
• cos(α) → sec(α) (Secante)
• tg(α) → cotg(α) (Cotangente)

Resolución de Razones

Prueba de Hipótesis para la Media Poblacional

Una empresa productora de envases metálicos asegura que el peso promedio de sus tapas es de 10.0 gramos. Como ingeniero de calidad, deseas verificar esta afirmación porque algunos clientes han reportado que las tapas parecen más ligeras de lo habitual.

Objetivo

Verificar si el peso promedio de las tapas es diferente al establecido (10.0 g).

1. Planteamiento del problema

¿El peso promedio de las tapas producidas difiere de 10.0 gramos?

2. Formulación de las hipótesis

• Hipótesis nula (H₀): μ = 10.0
  (El peso promedio es igual a 10.0 g)

• Hipótesis alternativa (H₁): μ ≠ 10.0
  (El peso promedio es diferente de 10.0 g)

→ Este es un caso de prueba bilateral.

3. Nivel de significancia (α)

α = 0.05 (... Continuar leyendo "Aplicación de Pruebas de Hipótesis y ANOVA en el Control de Calidad Industrial" »