Chuletas y apuntes de Matemáticas

Funciones y operaciones

Dominio

Dominio: Depende del tipo de función:

• Funciones exponenciales, polinómicas o raíces de índice impar: dominio = todos los reales.
• Raíz de índice par: todos los reales que hagan que el radicando sea ≥ 0. Ejemplo: f(x) = √(7x - 3). Dom(f) = [3/7, +∞).
• Logarítmicas: todos los x tales que el argumento del logaritmo sea > 0.
• Racionales: todos los reales salvo los que anulan el denominador.

Operaciones con funciones

Se definen las operaciones habituales:

• Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x).
• Resta: (f - g)(x) = f(x) - g(x).
• Producto: (f · g)(x) = f(x) · g(x).
• Cociente: (f / g)(x) = f(x) / g(x), con g(x) ≠ 0.
• Composición: (g ∘ f)(x) = g(f(x)).

Ejemplo de composición: Sea f(x) = 2x + 3 y g(x) = x² - 4. Entonces g(...

Operaciones con paréntesis

Primero se realizan las multiplicaciones o divisiones y después las sumas o restas.

Cuando se hace el máximo común divisor se hace: el resultado entre el denominador por el numerador.

Siempre se debe simplificar.

Expresión en forma de fracción

Decimal Periódico Puro

Ejemplo: N = 235,2 (periódico)

Se realiza de la siguiente manera:

• Numerador: El número entero sin coma menos la parte entera (la que no es decimal).
• Denominador: Tantos nueves como cifras tenga el periodo.

Decimal Periódico Mixto

Ejemplo: 1,372 (periódico)

Se realiza de la siguiente manera:

• Numerador: El número entero sin coma menos todas las cifras que no sean periódicas.
• Denominador: Tantos nueves como cifras periódicas tengamos y tantos ceros como cifras

Conceptos Clave en Álgebra Lineal: Matrices, Determinantes y Solución de Sistemas

A continuación, se presenta una revisión estructurada de los elementos fundamentales del álgebra lineal, incluyendo sus definiciones, significados y métodos de obtención.

1. La Matriz

a) ¿Qué es una matriz?

Conjunto ordenado de elementos dispuestos en filas y columnas, representado como:

b) ¿Qué indica o qué significa?

Permite organizar datos numéricos y representar sistemas de ecuaciones lineales de manera compacta.

c) ¿Cómo se construye?

No se calcula; se construye organizando los elementos en una tabla rectangular de dimensión $m \times n$ (donde $m$ es el número de filas y $n$ es el número de columnas).

2. El Determinante

a) ¿Qué es?

Escalar asociado...

Fracción: definición

Partes de una fracción

Tipos de fracciones

• Fracción propia: es aquella en la que el numerador es menor que el denominador (numerador < denominador); es decir, su valor es menor que la unidad.
• Fracción impropia: es una fracción donde el numerador es mayor que el denominador (numerador > denominador); es decir, su valor es mayor o igual a la unidad.
• Fracción decimal: es aquella cuyo denominador es 10 o una potencia de 10. También se considera

Ángulos: Conceptos Fundamentales

Se llama ángulo a la unión de dos rayos o semirrectas que tienen el mismo punto extremo, llamado vértice.

Por su magnitud, los ángulos se clasifican en:

• Ángulos rectos
• Ángulos agudos
• Ángulos obtusos
• Ángulos llanos
• Ángulos entrantes
• Ángulos perigonios

Tipos de Ángulos según su Relación

Ángulos Consecutivos

Dos o más ángulos son consecutivos cuando tienen un lado común y están en el mismo plano.

Ángulos Complementarios

Son aquellos ángulos cuya suma es de 90°.

Ángulos Suplementarios

Son aquellos cuya suma es de 180°.

Ángulos Opuestos por el Vértice

Son aquellos ángulos que resultan opuestos cuando dos rectas se cortan, compartiendo el mismo vértice.

Ángulos en la Circunferencia

Ángulo Central

Es el ángulo...

Sistemas Electorales: Métodos de Reparto de Escaños y Proporcionalidad

La elección de un sistema electoral es fundamental para la configuración de la representación política en una democracia. Los diferentes métodos de reparto de escaños buscan traducir los votos de los ciudadanos en asientos parlamentarios, pero lo hacen con distintos grados de proporcionalidad y efectos sobre la composición final de los órganos legislativos.

Sistemas de Representación Proporcional Aproximada

Estos sistemas persiguen que cada partido político obtenga un número de escaños sensiblemente equilibrado con su importancia real, medida en el número de votos obtenidos.

Método D'Hondt

El sistema D'Hondt se encuadra en el grupo de sistemas de representación...

Recopilación de Fórmulas Fundamentales de Cálculo

Este documento presenta una tabla resumen de las reglas esenciales para el cálculo de derivadas e integrales de funciones comunes.

Tabla de Derivadas

1. Estadística Descriptiva

La Estadística Descriptiva es la rama de la Estadística que se encarga de describir y analizar series de datos correspondientes a una población o muestra. Su objetivo es organizar la información y resumirla mediante diferentes técnicas y medidas, para facilitar su interpretación y obtener conclusiones útiles.

2. Población y Muestreo

Definiciones Clave

• Población: Es el conjunto total de individuos o elementos que son objeto de estudio.
• Muestra: Es una parte seleccionada de la población, utilizada cuando esta es muy amplia.

Requisito de Representatividad

Para que la muestra sea representativa, todos los elementos de la población deben tener la misma probabilidad de ser elegidos.

Tipos de Muestreo

El muestreo es el...

Números Combinatorios

Recordemos que el factorial de un número natural n, que denotaremos n!, es el producto de todos los números naturales menores o iguales a n:

n! = 1 · 2 · 3 · ··· · (n-1) · n

Definimos el número combinatorio C(n,m) (se lee n sobre m) como:

(Por razones técnicas, usaremos la notación C(n,m) cuando lo usemos dentro del texto).

Vamos a ver que este número es, de hecho, un número entero.

Para demostrarlo, necesitamos un cierto resultado sobre la parte entera de un número. Recordemos que la parte entera [x] de un número real x es el mayor número entero menor o igual que x, o sea que x - 1 < [x] ≤ x.

Observación: Sea n un número natural y m < n otro número natural. Entonces la parte...

Conceptos y definiciones clave

Definiciones

Ecuación de segundo grado: aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x²).

Sistema de ecuaciones: es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.

Función: es un vínculo entre dos conjuntos, uno de partida y otro de llegada, en la que todos los elementos del conjunto de partida están vinculados con un elemento del conjunto de llegada.

Ecuación exponencial: es una igualdad que contiene su variable como exponente.

Ecuación logarítmica: es aquella en la que la incógnita aparece dentro de una expresión logarítmica.

Trigonometría: es la rama de la matemática que se encarga de estudiar los ángulos, sus medidas y relaciones.

Sinusoides: es la representación...