Chuletas y apuntes de Matemáticas de Otros cursos

Conceptos Clave en Estadística y Probabilidad

Varianza de la Resta de Variables Aleatorias

Pregunta: ¿Cuál es la varianza de la resta de dos variables aleatorias cualesquiera?

Respuesta: Es la suma de sus varianzas menos dos veces la covarianza entre ellas.

Independencia y Covarianza

Afirmación: Si dos variables son independientes, su covarianza es cero. (Correcta)

Función de Densidad

Propiedad: La función de densidad toma el valor uno si se integra en todo el recorrido de la variable. (Correcta)

Diferencia entre Índices de Laspeyres y Paasche

Pregunta: ¿En qué se diferencia el índice de Laspeyres del de Paasche?

Respuesta: Ambos índices son medias aritméticas (ponderadas), pero el índice de Laspeyres se construye con ponderaciones p_i0q_i0,... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Estadística: Variables Aleatorias y Axiomas" »

Transformaciones Lineales

Definición y Ejemplos

Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales que respeta la estructura algebraica. Es decir, cumple las siguientes propiedades:

1. Aditividad: T(u + v) = T(u) + T(v) (preserva la suma de vectores).

2. Homogeneidad: T(c·v) = c·T(v) (preserva el producto por escalares).

Ejemplos:

• T(x, y) = (2x, 3y) es una transformación lineal.

• T(x, y) = (x+1, y) no es lineal, porque la suma de la constante "+1" rompe la propiedad de homogeneidad (por ejemplo, T(c·x, c·y) = (c·x+1, c·y) que no es igual a c·T(x, y) = (c·x+c, c·y)).

Se puede pensar en T como una máquina que transforma vectores, estirándolos, rotándolos, proyectándolos, o realizando otras operaciones que mantienen la linealidad.... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Transformaciones y Diagonalización" »

Fórmulas Trigonométricas Fundamentales

• sen(α) = Cateto opuesto / Hipotenusa
• cos(α) = Cateto contiguo / Hipotenusa
• tg(α) = Cateto opuesto / Cateto contiguo
• Identidad Pitagórica Fundamental: sen²(α) + cos²(α) = 1
• Relación Tangente-Seno-Coseno: tg(α) = sen(α) / cos(α)
• Identidad Secante: 1 + tg²(α) = sec²(α)

Conceptos y Aplicaciones Trigonométricas

Razones Trigonométricas de Ángulos Notables (0°, 30°, 45°, 60°, y 90°)

Valores clave para los ángulos más comunes:

• Seno: 0, ½, √2/2, √3/2, 1
• Coseno: 1, √3/2, √2/2, ½, 0
• Tangente: 0, √3/3, 1, √3, indefinida

Relación entre Razones Trigonométricas Recíprocas

• sen(α) → cosec(α) (Cosecante)
• cos(α) → sec(α) (Secante)
• tg(α) → cotg(α) (Cotangente)

Resolución de Razones

Conceptos Fundamentales en Álgebra y Teoría de Números

Álgebra de Boole y Retículos

Teorema de Estructura de las Álgebras de Boole Finitas

Sea (L, ∨, ∧) un álgebra de Boole finita y M el conjunto de todos los átomos de L. Entonces L es isomorfo al álgebra de Boole (P(M), ∪, ∩).

Retículo

Un retículo es una terna (L, ∨, ∧) donde L ≠ ∅ es un conjunto y ∨, ∧ son dos operaciones internas en L verificando las propiedades:

• Asociativas
• Conmutativas
• De Idempotencia
• De Absorción

Teoría de Números y Notación Asintótica

Teorema Chino del Resto

Sean a₁, a₂, ..., aₙ ∈ ℤ y p₁, p₂, ..., pₙ ∈ ℤ tales que (pᵢ, pⱼ) = 1 si i ≠ j. Entonces:

1. Existe a ∈ ℤ tal que a ≡ aᵢ mod pᵢ, para todo i = 1, 2, ..., n.

Introducción a las Pruebas Estadísticas No Paramétricas

Las pruebas no paramétricas son herramientas estadísticas esenciales cuando los datos no cumplen con los supuestos de las pruebas paramétricas tradicionales (como la normalidad o la homogeneidad de varianzas). Sus características principales incluyen:

• Independencia de las observaciones.
• Distribución no normal de los datos.
• Variable dependiente medida de manera ordinal.
• El eje principal es el ordenamiento por rangos o frecuencias.
• El tamaño muestral tiende a ser menor.

Prueba Chi Cuadrada ($\\chi^2$): Relación entre Variables Categóricas

La Prueba Chi Cuadrada es una prueba no paramétrica cuyo propósito es analizar si dos variables categóricas están relacionadas o si las distribuciones... Continuar leyendo "Métodos Estadísticos No Paramétricos: Chi Cuadrada, Wilcoxon y Kruskal-Wallis" »

Conceptos Fundamentales en Econometría e Inferencia Estadística

Introducción a la Econometría

La econometría es la ciencia que permite cuantificar modelos económicos. Su objetivo principal es aplicar métodos estadísticos a datos económicos para dar contenido empírico a las teorías económicas y verificar hipótesis. Por ejemplo, si buscamos analizar el efecto de una variable X sobre una variable Y, la econometría nos permite cuantificar, por ejemplo, el impacto de un aumento de una unidad de X en Y.

Inferencia Estadística y Parámetros Poblacionales

La inferencia estadística nos permite inferir aspectos del parámetro poblacional a partir de una muestra. En particular, en un modelo econométrico, nos interesa analizar si existe evidencia... Continuar leyendo "Econometría y Estadística: Conceptos Clave para Modelos Cuantitativos" »

Métodos Planimétricos en Topografía

1. Métodos Planimétricos Topográficos

Los métodos planimétricos topográficos se utilizan en topografía para determinar la posición horizontal de puntos (coordenadas X e Y), sin considerar la altimetría (coordenada Z). Existen diferentes métodos, cuya elección depende de la exactitud requerida, las condiciones del terreno y el equipo disponible.

Principales Métodos Planimétricos:

• Método de Radiación: Se emplea cuando existe un punto de referencia fijo (estación) desde donde se miden distancias y ángulos a otros puntos. Es ideal para levantamientos en zonas pequeñas y accesibles.
• Método de Intersección: Consiste en ubicar un punto desconocido midiendo ángulos desde dos puntos conocidos. Puede

Fórmulas Fundamentales y Conceptos Clave

Modelo de Crecimiento y Decrecimiento Exponencial

La fórmula general del modelo exponencial es:

$$A = A_0 \cdot b^t$$

• A → Cantidad final
• A₀ → Cantidad inicial
• b → Razón o base del cambio (factor de crecimiento o decrecimiento)
• t → Tiempo

Composición de Funciones

La composición de funciones implica sustituir una función dentro de otra.

Composición f ∘ h

$$(f \circ h)(x) = f(h(x))$$

Se sustituye la función h(x) dentro de f(x) en las variables "x".

Composición h ∘ f

$$(h \circ f)(x) = h(f(x))$$

Se sustituye la función f(x) dentro de h(x) en las variables "x".

Dominio de la Composición

El dominio es $$(-\infty, \infty)$$ a menos que la función resultante contenga variables en el denominador o raíces... Continuar leyendo "Compendio de Fórmulas Fundamentales y Ejercicios Resueltos de Funciones Matemáticas" »

1. Selectividad

La selectividad es la capacidad de un método analítico para medir e identificar en forma separada o simultánea los analitos de interés en presencia de otras sustancias químicas que pueden o no estar formando parte de la matriz de la muestra.

1a. Procedimiento:

1. Preparar una solución estándar del analito en estudio según lo indicado en el método de análisis a validar.
2. Preparar un blanco de excipientes contenidos en el producto terminado y tratarlo de la misma forma que a la muestra según el método en estudio.
3. Tanto el estándar como el blanco se determinan en triplicado.

1b. Evaluación:

La selectividad queda demostrada al no existir respuesta con la muestra de excipientes en comparación con el estándar.

2. Exactitud

La exactitud... Continuar leyendo "Validación de Métodos Analíticos: Selectividad, Exactitud, Precisión y Más" »

• ¿Cuál de las siguientes características es necesaria para que dos figuras sean congruentes?
  ✅ a. Tener la misma forma y tamaño

• ¿Cuántos elementos, como mínimo, deben ser iguales para que dos triángulos sean congruentes?
  ✅ c. 3

• ¿Cuáles son los elementos requeridos para aplicar el criterio de congruencia ALA (ángulo, lado, ángulo)?
  ✅ b. Dos ángulos y el lado entre ellos

• Para determinar si dos triángulos son congruentes utilizando el criterio LAL (lado, ángulo, lado), ¿qué debe ser igual?
  ✅ d. Dos lados y el ángulo entre ellos

• Si en un polígono regular se trazan líneas diagonales para formar triángulos, ¿qué criterio puede usarse para demostrar que los triángulos formados son congruentes?
  ✅ a. LAL (lado, ángulo, lado)