Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Conceptos Fundamentales de Grafos

Grafo Completo (K_n)

Un grafo completo es aquel donde todos los vértices están conectados entre sí. El número de aristas en un grafo no dirigido es n*(n-1)/2, y en un grafo dirigido es n*(n-1), donde 'n' es el número de vértices.

Grafo Bipartito (K_m,n)

En un grafo bipartito, los vértices se dividen en dos conjuntos disjuntos, y las aristas solo conectan vértices de conjuntos diferentes. Los vértices de un mismo conjunto no pueden ser adyacentes. El número máximo de aristas en un grafo bipartito es (n²)/4 (cuando los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos, o lo más cercano posible).

Subgrafos

• Subgrafo Propio: Contiene un subconjunto de vértices y aristas del grafo original, verificando que

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Log_ab = X ? b= a^x

Log_a1 = 0                 Log_aa = 1                  Log_aa^x = X

Log_a(m · n) = Log_am + Log_an           Loga (m/n) = Log_am - Log_an

Log_amⁿ = n · Log_am              Log_a= log_am / n

Logam = log_bm/log_ba

interés simple.                                                                 interés compuesto.

Capital, C.                                                                         Montante, M.

Interés, I.                                                                          ... Continuar leyendo "Logaritmos" »

tipos de salto: lim f(x)= lim f(x) desigual f (a), es evitable.
                          x-->a+    x-->a-
lim f(x) desigual lim f(x), salto finito o infinito.
x-->a+              x-->a-                                A.V.: limites de los puntos que se despejan del denominador. A.H.:limites de +- infinito y se usan las 3 reglas. Si el de arriba es mayor que el de abajo=infinito, si el de arriba es menor que el de abajo=0, si son iguales se divide el de arriba entre el de abajo. A.O.: (para poder hacerse tene que ser el grado de arriba uno mas que el de abajo)División, dar valores al resultado, f(100 y -100) e Y(100 y -100). 

 

A.V.: limites de los puntos... Continuar leyendo "Matematicas, derivadas" »

Verbos modales.

Can: poder/ saber (habilidad, sugerencia, peticion)

Can´t: no poder/ no saber (seguridad, de que algo es posible).

Be able to: ser capaz de (habilidad).

Could: poder/saber en pasado (habilidad, sugerencia formal, peticiones)

May: puede, posibilidad, petición formal.

Might: podría, posibilidad.

Must: deber (obligación, deducción, seguridad de que algo es verdad)

Have to: tener que, obligación

Need to: necesitar

Needn´t to: no necesitar, no tener obligación.

Musn´t: prohibición.

Don´t have to: no tener la obligación.

Should: debería, dar un consejo.

Ought to: debería, es + formal que should, opinión y consejo.

Verbos modales perfectos (pasado)

Must have (deber haber): certeza de que algo lógico o un hecho pasado.

Might / May

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ANALISIA

Azterketa hasi baino lehen, testua hobeto ulertzen lagunduko diguten zenbait termino argituko ditugu: "Librekanbismoa" (doktrina ekonomikoa, protekzionismoaren aurkakoa, Estatuaren esku-hartzerik gabe), "Trakzio-materiala", "Trakzio-materiala" (lokomotorak …).

·  Federico Echevarria Rotaeche: enpresa gizona, politikaria, polifazetikoa izan zen, besteak beste, Aceros Echevarriaren sortzailea izan zen 1878an. Librekanbismoaren kontrako eta protekzionismoaren aldeko jarrera defendatzailea izan zen, baita Euskal Ekoizleen Elkartearen kidea eta presidentea ere. Bizkaiko diputatu eta senatari liberala hautatu zuten.

·  Protekzionismoa: Ekonomian, protekzionismoa estatu bateko gobernuak produktu edo sektore ekonomiko jakin batzuei ematen

... Continuar leyendo "Federico echevarria librekanbismoa eta protekzionismoa ondorioak" »

2 plans:

A/A'=B/B'=C/C'?D/D' Paral·lels

A/A'=B/B'=C/C'=D/D' Coincidents

A/A'?B/B'?C/C'?D/D' Secants

Rang:deter?0:3,=0:se busca

3 plans:

rangM=rangM'=1 Coincidents

rangM=1 i RangM'=2 2 paral·lels

i otro paral·lel o coincideix

rangM=rangM'=2 comú una recta

el tercer forma part del feix plans

rangM=2 i rangM'=3 secants 2a2

rangM=rangM'=3 punt en comu

tríede

Posicio relaitva recta i pla

rangM=rangM'=2 r continguda ?

rangM=2 i rangM' 3 paral·lels

rangM=rangM'=3 punt en comu

posicio relativa 2 rectas:

v=(|B₁C₁|,|C₁A₁|,A₁B₁|)

   (|B₂C₂|,|C₂A₂|,|A₂B₂|)

u=(|B₃C₃|,|C₃A₃|,|A₃B₃|)

   (|B₄C₄|,|C₄A₄|,|A₄B₄|)

P(x,y,0) v    Q(x,y,0) u

PQ=Q-P

PQ=?u coincidents

PQ??u paral·lels

u??v:

|u,v,PQ|=0 Secant

|u,v,PQ|?0 Creuen

Recta:

Vectorial: x=p+?u

Paramet: x=x₀+?u₁

Continua: x-x₀/... Continuar leyendo "Formules Optimització" »

ERRORES

Error relativo

Error absoluto

Racionalización

Racionalización del tipo

Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador

Racionalización del tipo 

Se multiplica numerador y denominador por 

Racionalización del tipo 

Se multiplica el numerador y el denominador por

SUCESIONES

Progresiones aritméticas

An = a1 + (n - 1) d

Suma de los términos de una progresión aritmética

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Progresiones geométricas

a_n = a₁ × r^n-1

Suma y producto de los términos de una progresión geométrica

Interpolación de términos en una progresión geométrica

Distancia entre dos puntos:
d(p,q)= raiz (y2-y1)² =

Coordenada el punto medio de un segmento:
x= x1+x2y= x1+x2= (x,y)
        2 2
Pendiente de dos puntos diferentes de una recta:
m= y2-y1
      x2-x1
Rectas paralelas > solo son paralelas si son iguales:
m1= y2-y1  m2= y2-y1
       x2-x1          x2-x1
Rectas perpendiculares solo son perpendiculares si son =-1
m1.m2=-1+
Ecuacion de la recta punto pendiente
y-y1=m(x-x1)
Ecuacion de la circunferencia
c(a,b) es : (x-a)² + (y-b)² = r²
Ecuacion de la parabola cuyo eje coincide con el eje y
y² = 4py
Ecuacion de la parabola cuyo eje coincide con el eje x
x² = 4px
Ecuacion de una parabola de vertice (h,k)
(y-k)² =4p(x-h)² 
Ecuacion de la hiperbole del centro (h,k) y el eje focal paralelo... Continuar leyendo "Geometria analitica" »

90=pi/2rad 45=pi/4rad 30=pi/6rad 60=pi/3rad 270=3pi/2rad

180=pi rad 360=2pi rad

Rtrigonomètriques=     30=sin1/2 cos=arrelde3/2 tg=arrelde3/3

45=sin=arrelde2/2 cos=arrelde2/2 tg=1

60=sin=arrelde3/2 cos=1/2 tg=arrelde3

formules:

 sinalquadratdealfa + cosalquadratdealfa=1

tagdealfa=sindealfa/cosdealfa

1 + tgalquadratdealfa=1/cosdealfa   sin=catetoposat/hipotenusa

cosecdealfa=1/sindealfa                    cos=catetcontigu/hipotenusa

secdealfa=1/cosdealfa                     tg=catetoposat/catetcontigu

cotgdealfa=1/tgdealfa                        per calcular el signe del sincositg:

An x Am=An+m   An/Am=An-m            sin te a veure am la Y

(An)m=An x m   (A/B)n=An/Bn            cos

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Logaritmos:

LogaB=X...a^x=B

Log a*b= loga+logb

Loga/b=loga-logb

logx^a=alogx

Trigonometria:

sen^2+cos^2=1  1+cotg^2=cosec^2  tg^2+1=sec^2

sen(a+b)=senAcosB+cosAsenB 

cos(a+b)=cosAcosB+senAsenB

tg(a+b)=sen(a+b)/cos(a+b)=seAcosB+cosAsenB/cosAcosB+senAsenB=tgA+tgB/1-tgAtgB

sen(a-b)=sen(a+(-b))=senAcos(-B)+cosAsen(-B)=senAcosB+cosAsen(-B)=senAcosB-cosAsenB

cos(a-b)=cos(a+(-b))=cosacos(-B)-senasen(-B)=cosAcosB-senA(-senB)=cosAcosB+senAsenB

tg(a-b)(tga+(-b))= tgA+tg(-b)/1-tgAtg-B=tgA+(-tgB)/1-tgA(-tgB)=tgA-tgB/1+TgAtgB

sen2a=sen(a+a)=senAcosA+cosAsenA=2senAcosA

cos2a=cos(a+a)=cosAcosA-senAsenA=cos^2A-sen^2A

tg2A=tg(a+a)=tgA+tgA/1-tgAtgA=2tgA/1-tg^2A

senA+senB=sen(a+b)+sen(a-b)=sanAsanB+cosAcosB+senAcosB-cosAsenB=2senAcosB=2sen(A+B/2)cos(A-B/2)

Teorema del coseno:... Continuar leyendo "Trigonometría del 1" »