Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Teorema del Resto

Ejemplo: Consideremos los polinomios y . Tenemos que:

Por lo tanto, el residuo que resulta al dividir entre debería ser 56. Para verificarlo, utilizaremos la regla de Ruffini; primero colocamos los coeficientes del polinomio en la primera fila de nuestro arreglo y colocamos el 3 ligeramente a la izquierda:

Luego, bajamos el 1 (el primer coeficiente de ) debajo de la línea horizontal:

Después multiplicamos el 1 que tenemos debajo de la línea horizontal por el 3 (cuyo resultado es 3) y lo colocamos debajo del siguiente coeficiente de :

Después realizamos la resta de los números que están en la columna del segundo coeficiente ( ) y colocamos el resultado debajo de la línea horizontal:

Repetimos el procedimiento anterior.... Continuar leyendo "Teorema del Resto: explicación paso a paso y ejemplos" »

Biografías de Matemáticos Influyentes

John Napier (Siglo XVI)

Matemático escocés, reconocido por ser el primero en definir los logaritmos. También popularizó el uso del punto decimal en las operaciones aritméticas.

Leonhard Euler (Siglo XVIII)

Matemático, físico y filósofo suizo. Ampliamente conocido por el número de Euler (e), que aparece en numerosas fórmulas de cálculo y física. Realizó aportaciones científicas cruciales en varios campos relacionados con la física.

Bernhard Riemann (Siglo XIX)

Matemático alemán. Hizo contribuciones muy importantes al análisis y la geometría diferencial. Una de sus obras principales trata sobre el número de primos menores que una cantidad dada.

Paolo Ruffini (Siglos XVIII-XIX)

Matemático,... Continuar leyendo "Biografías y Conceptos Matemáticos Clave: De Neper a los Sistemas de Ecuaciones" »

Domini: -Funció polinòmica→/R -Funció racional→/R-{nombres que facin denominador 0} -Funció irracional→índex senar(/R) →índex parell(/R-{dins l'arrel negatiu})

Recorregut→Resultats possibles de la funció(eix de les y)

-Injectiva→NO és injectiva quan les y tenen més d'una y. -Exhaustiva→Recorregut és /R.  -Bijectiva→s'han de complir les 2

Monotonia: -f és estrictament  per x (  ,  ) U (  ,  ) -f és estrictament constant per x (  ,  ) -f és estrictament  per x (  ,  ) U (  ,  ).

Màxims i mínims: -Relatius→la funció els sobrepassa -Absoluts→la funció no els sobrepassa.

Limits

Asíntotes: -AV(infinites)→ A.V. en x=lloc on és -AH(només 2)→ A.H. en y=(lloc on és) quan x→

Continuïtat(no es... Continuar leyendo "Funcions polinòmiques, racionals i irracionals" »

Barne Produktu Gordinaren (BPG) Bilakaera Espainian Frankismo Garaian (1939-1973)

Honako hau grafiko lineala da. Bertan, 1939 eta 1973 urteen bitartean, hau da, ia frankismo osoan, biztanle bakoitzeko Barne Produktu Gordina (BPG) agertzen da. Izaera ekonomikoa du, BPGaren datuak ematen baititu, hau da, ondasun eta zerbitzuen ekoizpenaren balioa azaltzen da, biztanle kopuruaren araberakoa. Grafiko hau [Iturria zehaztu] liburutik hartua dago.

Grafikoaren Deskribapena

Ardatz horizontalean, urteak agertzen dira. Esan bezala, 1939. urtean hasi eta 1973. urtera arteko datuak ageri dira, eta urteak binaka antolatuta daude. Ardatz bertikalean, berriz, 50 milaka pezeta kopurua agertzen da. 1980ko pezetaren arabera daude eginak kalkuluak; izan ere, pezetak... Continuar leyendo "BPGaren Bilakaera Frankismoan (1939-1973): Analisi Ekonomikoa" »

PROBABILIDAD

CONCEPTOS:

• Fenomeno aleatorio (s): es aquel que en las mismas condiciones iniciales produce distintos resultados finales. Ejem; lanzar un dado
• Fenomeno determinista: es aquel que en las mismas condiciones provocan los mismos efectos. Ejem; lanzar un dado trucado
• Prueba: una prueba del experimento aleatorio (s) es una observacion particular del experimento. Ejem; cada una de las veces que tiramos un dado es una prueba.
• Espacio muestral (E): es un experimento aleatorio que contiene todos los posibles resultados del experimento Ejem; en el lanzamiento de un dado sería [1,2,3,4,5,6]
• Tipos de sucesos:
  • Suceso elemental: es el formado por un solo elemento. Ejem; en una moneda [cara] [cruz]
  • Suceso compuesto: es el formado por dos o mas elementos.

IMALTHUS: BIZTANLERIARI BURUZKO TEORIA

1. Testu identifikatu

Ondorengo testuaren egilea Thomas Robert Malthus (Britainia Handia, 1766-1834) izan zen. Liburua Londresen 1798. Urtean argitaratu zuen. Bere garaian, liburua arrakasta handi bat izan zuen bi arrazoiengatik. Alde batetik, industria iraultza Britania Handian hasita zegoen eta, beste aldetik, Frantziako zetozen berriak iraultzari buruz kezkagarriak ziren.

• Formaren arabera, gure testua saiakera bat da, hau da, prosazko idazlana,

Malthus-ek gai jakin bati buruzko hainbat gogoeta biltzen zituen.

• Gaiaren arabera, gure testu ekonomiaren arloan kokatuko dugu.

• Hartzailearen arabera. Testu publikoa da eta egilearen desioa informazioa

Hedatzea zen

• Gertaeraren gaiaren arabera. Aurrean daukagun testua

Definición DE Fracción IMPROPIA:

SON AQUELLAS QUE TIENEN COMO

NUMERADOR UN NUMERO MAYOR AL

DENOMINADOR.

EL NUMERADOR ES MAYOR O IGUAL AL

DENOMINADOR.

Conversión DE Fracción MIXTA A DECIMAL:

SE DIVIDE EL NUMERADOR ENTRE EL

DENOMINADOR Y EL RESULTADO SE SUMA AL

ENTERO.

¿QUIEN FUE Pitágoras?

FUE ONSIDERADO EL MAYOR Y PRIMER

Matemático PURO, CONTRIBUYO EN EL

AVANCE DE LA Matemática Helénica, LA

Geometría Y LAN Aritmética  DERIVADAS DE LAS RELACIONES Numéricas.

INTERESANDOLO POR LAS Matemáticas Y LA

Astronomía.

Tipificación de Variables

Qué es y Sentido

Qué es tipificar variables y qué sentido tiene: La tipificación permite comparar distintas variables que no tienen relación entre ellas. Con ello, obtenemos una nueva variable llamada “z”, que es el resultado de restar la media de la muestra y dividir por la desviación típica.

Propiedades de una Distribución Tipificada

Propiedades:

• La media es 0.
• La desviación típica es 1.

Se representa como N(0,1). La fórmula es: Z = (x - media) / DT.

Variables Cualitativas Nominales

Características y Cálculo

Cómo se trabaja con una variable cualitativa nominal: Sirven para diferenciar unos objetos de otros. Por lo tanto, las únicas operaciones permitidas son las relacionadas con la igualdad y la desigualdad.... Continuar leyendo "Conceptos Estadísticos Clave y Pruebas para Datos Cuantitativos" »

Meatzarien bizilekuak eta barrakoien egoera

Lehenengo zatian, jornalariak non bizi ziren aipatzen da. Meatzeak hirigunetatik urrun zeudenez, nagusiek barrakoiak eraiki zituzten langileentzat. Hauek instalazio ahulak eta erraz mugitzekoak ziren. Bertan, langileak egoera txarretan bizitzera derrigortuta zeuden. (1-2. lerroetan: “meatze-mendietako aterpetxe ziztrina, eta jornalariak han bizi ziren, pilatuta”).

Lan baldintzak, elikadura eta higiene eza

Bigarren zatian, Arestik, eleberriko pertsonai garrantzitsuenak, lan baldintzen, dietaren eta barrakoien inguruko azalpenak ematen ditu. Meatzariek lan jardun luzeak zituzten. Hasiera batean, eguraldiak uzten bazuen, eguzkia sortzen zenetik sartzen zenera arte egiten zen lan, hau da, 11 ordu edo