Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

1.- Para encontrar la distribución de probabilidad de X, el número de premios que obtienen los organizadores, primero necesitamos determinar cuántas formas hay de otorgar los tres premios a los cuatro organizadores.

Podemos usar la fórmula de combinación para calcular esto:

C(4,3) = 4! / (3! * 1!) = 4

Esto significa que hay 4 formas diferentes en que los tres premios pueden ser otorgados a los cuatro organizadores.

Ahora podemos construir una tabla para encontrar la distribución de probabilidad de X:

Para calcular el número de formas de obtener cada cantidad de premios, podemos usar la fórmula de combinación. Por ejemplo, para encontrar el número de formas en que dos organizadores pueden ganar un premio y los otros dos no, podemos calcular:... Continuar leyendo "Valores cartas poker para imprimir" »

Cálculo del límite en un punto

- Si f(x) es una función polinómica, racional, radical, exponencial, logarítmica, etc.

(Para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x)

Cálculo del límite en una función definida a trozos

- En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos. (Si coinciden, este es el valor del límite) (Si no coinciden, el límite no existe)

Cálculo de límites cuando x → ∞

- Para calcular el límite de una función cuando x → ∞ se sustituyen las x por ∞.

Indeterminación ∞ / ∞

- funciones potenciales. Dividimos todos los sumandos por la x elevada al mayor exponente.

- Con funciones exponenciales. Dividimos por la exponencial... Continuar leyendo "Cálculo de límites y continuidad en funciones" »

Estadística Descriptiva

La estadística descriptiva es la rama de la estadística que recolecta, analiza y caracteriza un conjunto de datos (peso de la población, beneficios diarios de una empresa, temperatura mensual,…) con el objetivo de describir las características y comportamientos de este conjunto mediante medidas de resumen, tablas o gráficos.

poblacióncantidad total de cualquier conjunto completo de datos muestra:cualquier subconjunto de elementos de la población 

parte de la estadística que estudia las técnicas  y métodos estadística inferencial :

Tipos

El Modelo de Vasicek

El modelo de Vasicek asume que el proceso estocástico de los tipos de interés r = {r_t: t ≤ T} está gobernado por la siguiente ecuación diferencial estocástica (EDE) que incorpora la reversión a la media (1):

dr_t = a(b - r_t)dt + σdW_t

Donde:

• W_t es un movimiento browniano (o proceso de Wiener) bajo la medida de riesgo neutral.
• a(b - r_t)dt representa el cambio esperado determinístico en el tipo de interés en un intervalo dt (factor de deriva).
• a > 0 es la velocidad de reversión hacia la media.
• b es el nivel a largo plazo de la media del tipo de interés.
• σ > 0 (sigma) es la volatilidad instantánea de la tasa de interés.

Por tanto, asume que si los tipos de interés fuesen deterministas (es decir, σ=0), estarían... Continuar leyendo "Modelos Estocásticos de Tipos de Interés: Fundamentos de Vasicek y Hull-White" »

Operacions amb Vectors

Càlcul amb vectors donats

Donats els vectors u=(5,-4), v=(2,3) i w=(-6,4):

• Càlcul: 2·u - 3·v + w

  2·(5,-4) - 3·(2,3) + (-6,4) = (10,-8) - (6,9) + (-6,4) = (10-6-6, -8-9+4) = (-2,-13)

• Càlcul: u + 1/3·v - 1/2·w

  (5,-4) + 1/3·(2,3) - 1/2·(-6,4) = (5,-4) + (2/3,1) - (-3,2) = (5 + 2/3 + 3, -4 + 1 - 2) = (26/3,-5)

Càlcul de Punts i Coordenades

Determinació d'un punt amb condicions vectorials

Calcula el punt P(x,y) amb Q(3,2) i R(-1,5) de manera que 3·PQ - 2·QR = 0:

3·PQ - 2·QR = 0

3·(3-x, 2-y) - 2·(-1-3, 5-2) = (0,0)

3·(3-x, 2-y) - 2·(-4, 3) = (0,0)

(9-3x, 6-3y) - (-8, 6) = (0,0)

(9-3x+8, 6-3y-6) = (0,0)

(17-3x, -3y) = (0,0)

• Component x:

  17 - 3x = 0 → 3x = 17 → x = 17/3

• Component y:

  -3y = 0 → y = 0

Per tant, P = (17/3,

Teorema del Resto

Ejemplo: Consideremos los polinomios y . Tenemos que:

Por lo tanto, el residuo que resulta al dividir entre debería ser 56. Para verificarlo, utilizaremos la regla de Ruffini; primero colocamos los coeficientes del polinomio en la primera fila de nuestro arreglo y colocamos el 3 ligeramente a la izquierda:

Luego, bajamos el 1 (el primer coeficiente de ) debajo de la línea horizontal:

Después multiplicamos el 1 que tenemos debajo de la línea horizontal por el 3 (cuyo resultado es 3) y lo colocamos debajo del siguiente coeficiente de :

Después realizamos la resta de los números que están en la columna del segundo coeficiente ( ) y colocamos el resultado debajo de la línea horizontal:

Repetimos el procedimiento anterior.... Continuar leyendo "Teorema del Resto: explicación paso a paso y ejemplos" »

Biografías de Matemáticos Influyentes

John Napier (Siglo XVI)

Matemático escocés, reconocido por ser el primero en definir los logaritmos. También popularizó el uso del punto decimal en las operaciones aritméticas.

Leonhard Euler (Siglo XVIII)

Matemático, físico y filósofo suizo. Ampliamente conocido por el número de Euler (e), que aparece en numerosas fórmulas de cálculo y física. Realizó aportaciones científicas cruciales en varios campos relacionados con la física.

Bernhard Riemann (Siglo XIX)

Matemático alemán. Hizo contribuciones muy importantes al análisis y la geometría diferencial. Una de sus obras principales trata sobre el número de primos menores que una cantidad dada.

Paolo Ruffini (Siglos XVIII-XIX)

Matemático,... Continuar leyendo "Biografías y Conceptos Matemáticos Clave: De Neper a los Sistemas de Ecuaciones" »

• Gasolinerak lapurtzean galtzetan kaka egiten nuen nik → Buruko ileak lazten zitzaizkidan.

• Bat nator Pedro Miguel Etxenikek esandakoarekin → Ados nago.

• Albisteak bertatik bertara ikusi → Hurbiletik ikusi.

• Faktoreen ordenak bost axola gesaltzarrei → gesaltzarrei ez zaie batere inporta.

• Iturria non, lana han → Ondo lan egiteko iturri bat behar da orain.

• Aberats ez izan arren, lapikoa betetzerik bazuten → Jateko beste ateratzen zuten, behintzat.

• Hozkailua asmatzearekin batera, gatz bilketarenak egin zuen → Hozkailuak negozioaren porrota eragin zuen.

• ANTONIMOAK:Arerio: Adiskide///Zoro: Zentzudun///Bortizkeria: Bakezaletasun//Sosegu: Urduritasun///Garaipen: Porrot 

• ORTOGRAFIA:Aberatz: Aberats///Gozari: Gosari//Humore: UmoreHerbesteratu: Erbesteratu/

Domini: -Funció polinòmica→/R -Funció racional→/R-{nombres que facin denominador 0} -Funció irracional→índex senar(/R) →índex parell(/R-{dins l'arrel negatiu})

Recorregut→Resultats possibles de la funció(eix de les y)

-Injectiva→NO és injectiva quan les y tenen més d'una y. -Exhaustiva→Recorregut és /R.  -Bijectiva→s'han de complir les 2

Monotonia: -f és estrictament  per x (  ,  ) U (  ,  ) -f és estrictament constant per x (  ,  ) -f és estrictament  per x (  ,  ) U (  ,  ).

Màxims i mínims: -Relatius→la funció els sobrepassa -Absoluts→la funció no els sobrepassa.

Limits

Asíntotes: -AV(infinites)→ A.V. en x=lloc on és -AH(només 2)→ A.H. en y=(lloc on és) quan x→

Continuïtat(no es... Continuar leyendo "Funcions polinòmiques, racionals i irracionals" »

Barne Produktu Gordinaren (BPG) Bilakaera Espainian Frankismo Garaian (1939-1973)

Honako hau grafiko lineala da. Bertan, 1939 eta 1973 urteen bitartean, hau da, ia frankismo osoan, biztanle bakoitzeko Barne Produktu Gordina (BPG) agertzen da. Izaera ekonomikoa du, BPGaren datuak ematen baititu, hau da, ondasun eta zerbitzuen ekoizpenaren balioa azaltzen da, biztanle kopuruaren araberakoa. Grafiko hau [Iturria zehaztu] liburutik hartua dago.

Grafikoaren Deskribapena

Ardatz horizontalean, urteak agertzen dira. Esan bezala, 1939. urtean hasi eta 1973. urtera arteko datuak ageri dira, eta urteak binaka antolatuta daude. Ardatz bertikalean, berriz, 50 milaka pezeta kopurua agertzen da. 1980ko pezetaren arabera daude eginak kalkuluak; izan ere, pezetak... Continuar leyendo "BPGaren Bilakaera Frankismoan (1939-1973): Analisi Ekonomikoa" »