Fundamentos Matemáticos de la Convergencia Local y Estimación del Error en el Método de Newton

Convergencia Local en Métodos Numéricos

Sea F una función con una raíz α ∈ (a, b). Se supone que F es derivable en un entorno (α - δ₁, α + δ₁), F' es continua en α y F'(α) ≠ 0. Entonces:

• (i) La aplicación f(x) = x - F(x) / F'(x) está definida en un entorno (α - δ₂, α + δ₂), con δ₂ < δ₁.
• (ii) f es derivable en α y f'(α) = 0.
• (iii) Existe un entorno (α - δ₃, α + δ₃) tal que, para todo x₀ ∈ (α - δ₃, α + δ₃), la sucesión (xₙ) definida por xₙ₊₁ = f(xₙ) converge a α, cumpliéndose que xₙ ∈ (α - δ₃, α + δ₃) para todo n ≥ 0.
• (iv) Para todo x ∈ (α - δ₃, α + δ₃), la convergencia de (xₙ) es superlineal: lim |xₙ₊₁ - α| / |xₙ - α| = 0.

Demostración y Desarrollo

Siendo F' continua en α y F'(α) ≠ 0, dado ε = |F'(α)| / 2, existe δ₂ < δ₁ tal que para todo x ∈ (α - δ₂, α + δ₂): |F'(x) - F'(α)| < |F'(α)| / 2. Por tanto, para todo x ∈ (α - δ₂, α + δ₂): |F'(x)| ≥ |F'(α)| - |F'(x) - F'(α)| > |F'(α)| / 2 > 0. En consecuencia, f está definida en (α - δ₂, α + δ₂).

(ii) Por ser F' continua en α, dado ε > 0, existe η₁ < δ₂ tal que |x - α| < η₁ ⇒ |F'(x) - F'(α)| < ε|F'(α)| / 4. Por ser F diferenciable en α, existe asimismo η₂ < δ₂ tal que |x - α| < η₂ ⇒ |F'(x) - F'(α) - F'(α)(x - α)| < ε|F'(α)||x - α| / 4. Sea η = mín{η₁, η₂}, se tiene, para todo x ∈ (α - η, α + η):

|f(x) - f(α)| = |x - α - F(x) / F'(x)| = 1 / |F'(x)| * |F'(x)(x - α) - F(x)| ≤ 1 / |F'(x)| * |F'(α)(x - α) - F(x)| < 2 / |F'(α)| * [ε|x - α||F'(α)| / 4 + ε|x - α||F'(α)| / 4] ≤ ε|x - α|, de donde se concluye que f es derivable en α y f'(α) = 0.

(iii) Utilizando el Teorema de Ostrowski, se deduce la existencia de δ₃ > 0, δ₃ < δ₂ tal que si x₀ ∈ (α - δ₃, α + δ₃), entonces xₙ₊₁ = f(xₙ) ∈ (α - δ₃, α + δ₃) para todo n ≥ 0 y (xₙ) converge a α.

(iv) Del apartado anterior se tiene que si x₀ ∈ (α - δ₃, α + δ₃), existe v > 0 tal que si n > v, entonces |xₙ - α| < η. De ello y de la acotación del apartado (ii), se concluye que para todo n > v, |f(xₙ) - f(α)| = |xₙ₊₁ - α| ≤ ε|xₙ - α|. En consecuencia, para todo ε > 0, existe v tal que n > v ⇒ |xₙ₊₁ - α| / |xₙ - α| < ε.

Estimación del Error

Sea α una raíz simple de F (F'(α) ≠ 0) y supongamos que existe un entorno (α - δ, α + δ) donde F es dos veces continuamente derivable. Entonces, si x₀ ≠ α y se tiene xₙ ≠ α para n ≥ n₀, poniendo eₙ = xₙ - α, se verifica:

lim (n→∞) (eₙ₊₁ / eₙ²) = F''(α) / (2F'(α)), lo que implica un método de orden al menos 2.

Desarrollo del Error

De la definición xₙ₊₁ = xₙ - F(xₙ) / F'(xₙ), para n ≥ 0, se deduce:

eₙ₊₁ = eₙ - F(xₙ) / F'(xₙ) = (eₙF'(xₙ) - F(xₙ)) / F'(xₙ).

Utilizando el Teorema de Taylor, se tiene:

0 = F(α) = F(xₙ) + F'(xₙ)(α - xₙ) + (α - xₙ)² / 2 * F''(ξₙ).

Se deduce entonces: F(xₙ) - eₙF'(xₙ) = -eₙ² / 2 * F''(ξₙ), y por tanto, eₙ₊₁ = F''(ξₙ) / (2F'(xₙ)) * eₙ². Teniendo en cuenta las hipótesis dadas, la sucesión (xₙ) converge a α; la continuidad de F' y F'' garantiza que si eₙ ≠ 0 (n ≥ n₀), entonces lim (n→∞) (eₙ₊₁ / eₙ²) = F''(α) / (2F'(α)).