Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

El Método Experimental: Etapas Esenciales para la Investigación Científica

El método experimental es la base de la investigación científica, permitiendo a los investigadores comprender y explicar los fenómenos naturales. A continuación, se detallan las fases clave de este riguroso proceso:

1. 1. Observación

   El punto de partida son siempre los hechos o fenómenos físicos que la ciencia pretende explicar. Se parte, pues, de la observación: la caída libre, el movimiento de los astros, la temperatura, la presión de un gas, entre otros.

2. 2. Formulación de Hipótesis

   Los hechos en sí mismos no dicen nada. Ocurre, por ejemplo, que al aumentar la presión de un gas sucede otra cosa, pero no se sabe cómo relacionar entre sí los diversos factores

Conceptos Clave de Matemáticas Aplicadas a la Economía

Optimización y Cálculo de Beneficios

• Extremos Relativos: P'(x) = 0. Los valores resultantes se sustituyen en P''(x). Si el resultado es negativo, es un máximo; si es positivo, es un mínimo.
• Extremos Absolutos: Sustituimos los valores de x en la función P(x) que han resultado de P'(x) = 0 y de algún punto.
• Unidades para el Máximo Beneficio: B(q) = p*q - C(x). Luego, B'(x) = 0.
• Precio por Unidad: Sustituimos el resultado anterior en p(x).
• Importe Máximo Beneficio: En B(q), sustituimos el valor del máximo beneficio.

Análisis de la Demanda y Costos

• % Demanda: E(p) * (% de cambio de precio).
• Mínimo de Unidades: Cp = C(x) / x. Después, Cp'(x) = 0 y para comprobar, C''(x) = 0. Sustituimos

Conceptos Fundamentales de Álgebra

Sistema de Numeración: Es un conjunto de principios, convenios y símbolos que se utilizan para expresar y comunicar cantidades. Estos sistemas emplean cifras y reglas para combinar dichas cifras.

Intervalo: Es un subconjunto del conjunto de los números reales, cuyos elementos están comprendidos entre dos límites que pueden o no pertenecer a dicho intervalo.

Potenciación: Es una forma abreviada de expresar la multiplicación sucesiva de un mismo factor (la base), tantas veces como lo indica el exponente.

Radicación: Es la operación matemática inversa a la potenciación. Permite encontrar la raíz de un número (el radicando) conocido el índice.

Desigualdad: Es una relación de orden que se establece entre... Continuar leyendo "Fundamentos de Álgebra y Funciones: Conceptos Clave y Propiedades Matemáticas Esenciales" »

Conceptos Fundamentales de Teoría de Números

Relaciones de Orden

Menor que: Dados dos números a y b, definimos "a menor que b" y lo indicamos como a < b.

Mayor que: Dados dos números a y b, definimos "a mayor que b" y lo indicamos como a > b.

Conjuntos Acotados

Sea A un conjunto no vacío de números naturales:

• Cota Superior: K es una cota superior de A si y solo si para todo a perteneciente a A, a ≤ K.
• Cota Inferior: H es una cota inferior de A si y solo si para todo a perteneciente a A, H ≤ a.
• Conjunto Acotado Superiormente: A es acotado superiormente si y solo si existe al menos una cota superior de A.
• Conjunto Acotado Inferiormente: A es acotado inferiormente si y solo si existe al menos una cota inferior de A.
• Máximo: K es máximo

Postulados Algebraicos Fundamentales

• Postulado 7: Postulado de la Multiplicación

  Si objetos iguales se multiplican por objetos iguales, sus productos son iguales. Es decir, si a = b y c = d, entonces ac = bd.

• Postulado 8: Postulado de la División

  Si objetos iguales se dividen entre objetos iguales, los cocientes son iguales. Es decir, si a = b y c = d, entonces a/c = b/d, donde c ≠ 0 y d ≠ 0.

• Postulado 9: Postulado de la Potencia

  Cantidades iguales elevadas a potencias iguales son iguales. Es decir, si a = b, entonces aⁿ = bⁿ.

• Postulado 10: Postulado de la Raíz

  Raíces n-ésimas iguales de cantidades iguales son iguales. Es decir, si a = b, entonces √ⁿa = √ⁿb.

Postulados Geométricos Clave

• Postulado 11

  Dos líneas rectas se intersectan en un

Elipse conocida un eje y un punto

Si conocemos el eje AB y el punto P, se traza con centro en O la circunferencia de diámetro AB. Por P se traza una perpendicular a AB que corta a la circunferencia en E. Se traza el segmento EO. Se traza una paralela a AB por P, que corta a EO en F. La distancia OF es el semieje menor. Con centro en O y radio OF, obtenemos C y D sobre una perpendicular a AB por O. En caso de que el eje conocido sea el CD, el trazado es similar, salvo que primero se obtiene el punto F y luego el E.

Ejes principales a partir de dos diámetros conjugados

Sean A’B’ y C’D’ dos diámetros conjugados. Por O se traza una perpendicular a A’B’. Se traza un arco de centro O y radio OA’ que corta a dicha perpendicular en 1.... Continuar leyendo "Construcción y Propiedades de la Elipse: Métodos y Procedimientos" »

Ejercicio 1. Verdadero/Falso razonado

a) Si G es un grafo plano con 14 aristas, es regular y tiene un vértice de grado 4, entonces G tiene necesariamente 9 caras.

Respuesta: Cierta.

Por la ley de los emparejamientos de grados (suma de los grados igual a dos veces el número de aristas) se tiene 2|E| = 28. Si G es regular de grado 4, entonces 4n = 28, donde n es el número de vértices. De ello n = 7.

Aplicando el teorema de Euler para grafos planos: n - m + f = 2, donde m = 14 y f es el número de caras. Así, 7 - 14 + f = 2, por lo que f = 9. Por tanto, la afirmación es verdadera.

b) Si n ≥ 3 y K_n es el grafo completo de n vértices, entonces es hamiltoniano siempre y nunca es bipartido.

Respuesta: Cierta.

Si los vértices son v1, v2, …, v_... Continuar leyendo "Teoría de grafos: teoremas y conceptos sobre planaridad, Hamilton y bipartición" »

A Traxedia Grega: Autores e Estrutura

Case todo canto coñecemos do xénero da traxedia grega débese ás obras conservadas dos tres autores que xa o Mundo Antigo considerou de maior calidade: Esquilo, Sófocles e Eurípides.

Esquilo: O Pai da Traxedia

Del coñecemos uns 80 títulos, aínda que só conservamos completas seis das súas obras:

• Os Persas (472 a.C.): única traxedia conservada de tema non mitolóxico.
• A triloxía chamada A Orestíada (458 a.C.), composta por Agamenón, As Coéforas e As Euménides.

Segundo parece, durante un tempo foi costume para os autores que se presentaban ó certame das Grandes Dionisíacas ofrecer tres traxedias de tema común, aínda que despois de Esquilo esta práctica foi menos frecuente.

A Xustiza Divina no

Operaciones Fundamentales con Vectores

Producto Escalar de Dos Vectores

El producto escalar entre dos vectores $\vec{a}$ y $\vec{e}$ se define como: $$\vec{a} \cdot \vec{e} = |\vec{a}| \cdot |\vec{e}| \cdot \cos(\theta)$$ donde $\theta$ es el ángulo entre ellos.

Operaciones con Componentes

• Producto Escalar (Componentes): Si $\vec{u} = (a, b)$ y $\vec{v} = (c, d)$, entonces: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = a \cdot c + b \cdot d$$ El resultado es un **escalar (número)**.
• Módulo de un Vector: El módulo del vector $\vec{u} = (a, b)$ es: $$|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Argumento de un Vector

Para un vector $\vec{u} = (3, 4)$: $$\tan(\alpha) = \frac{4}{3} \implies \alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right)$$

Proyección Vectorial

La proyección de $\vec{u}... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica Vectorial y Rectas" »

Factoring

1-Una empresa entrega a una sociedad de Factoring una factura de 20.000 € más Iva del 21% con fecha de cobro dentro de 150 días para su cobro anticipado. La sociedad cobra una comisión del 0.25% con un mínimo de 8 euros y un interés anual del 9%. Calcular el efectivo que recibirá la empresa, así como el TAE.

d= 9%               n=150       

D=  =  = 907.5   

G = N* C%= (20.000*1.21)*0.25%= 60.5

Ec = N – D – G = (20.000*1,21) – 907.5 – 60.5= 23.232€

E_TAE = Ec + Com. Mínima = 23.232 + 8 = 23.240 euros

N = E_TAE è 24.200 = 23.240 i_tae = -1 = 0.1035= 10.35%