Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Ejercicios resueltos de álgebra y cálculo multivariable

1. Subespacio vectorial en R⁴

Considere el subespacio vectorial S de R⁴ dado por un sistema de ecuaciones. Encuentre una base de S y escriba sus ecuaciones paramétricas.

Solución:

Dimensión = n - número de ecuaciones cartesianas linealmente independientes (LI). Si una variable no aparece en las ecuaciones cartesianas, es un parámetro. Si aparece en ambas, también lo es. Se define S = {&, &, &, @} y, como la dimensión es 2, se buscan 2 vectores para la base.

2. Aplicación lineal en R²

La aplicación lineal f: R² -> R² es tal que f(1, 0) = (1, 1) y f(0, 1) = (0, -1). Exprese la matriz de dicha aplicación y su matriz semejante referida a una base de autovectores.

Solución:

Ejercicios de Matemáticas: Optimización, Probabilidad y Sistemas de Ecuaciones

Ejercicio 1: Optimización de Lámparas

Sopranos y Mezzos

Restricciones:

• x + y + z = 15
• 20x + 30y ≥ 6000 (Simplificado: 2x + 3y ≥ 600)
• 20x + 10y (Simplificado: 2x + y)

Ejercicio 2: Optimización de Unidades Sueltas y Lotes

Unidades Sueltas

y - 2 = z - 1

Lotes de 4

x + 4y

x+3y

Beneficio: B(x) = -x² + 360x - 18000

A) Calcular el beneficio para 100 unidades.

1. Sustituir x = 100 en B(x).

¿Cuántas unidades se han vendido si el beneficio diario es de 13500?

1. Igualar 13500 = -x² + 360x - 18000.

B) Número de unidades para beneficio máximo. ¿A cuánto asciende el beneficio?

1. Derivar B(x).
2. Igualar la derivada a 0.
3. Calcular B(180) y hacer un boceto.

C) ¿Cuántas unidades hay que vender

=Angela Davis, 1944 jaioa politikari marxista, filosofia irakaslea eta Pantera Beltzen jarraitzailea

•Umetatik ezagutu zuen beltzen kontrako indarkeria •Pantera Beltzen mugimendukoan zebilela, Kaliforniako Unibertsitatetik bota zuten, filosofia irakasle zela •AEBetako Alderdi Komunistan sartuta zegoelako. 1972an Soledad Stateko kartzelan izandako hilketa batzuekin harremandu zuten

•

•Mundu osoan izan kasua ezagun egin eta ez zuten kondenatu. 1973an absolbitu egin zuten

BELTZEN BAZTERKERIAREN KONTRAKO MUGIMENDUAREN BALANTZEA

•Lege-aurrerapausoak (Kennedyren garaian eskubide zibilen legea prestatu zen, Johnson garaian onetsi zena) baina horrek nabarian utzi zuen legedi eta errealitatearen arteko aldea

•

•Getoak eta beltzen pobrezia

Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son:

Estatura (X)Peso (Y)

1868518985
1908619290
1938719391
19893201103
203100205101

Calcular:

1 La recta de regresión de Y sobre X.

2 
El coeficiente de correlación.

3 
El peso estimado de un jugador que mide 208 cm.

Xiyixi²yi²xi ·yi

1868534 5967 22515 8101898535 7217 22516 065
1908636 1007 39616 3401929036 8648 10017 280
1938737 2497 56916 7911939137 2498 28117563
1989339 2048 64918 41420110340 40110 60920 703
20310041 20910 00020 30020510142 02510 20120 705

1 950

921

380 618

85 255

179 971

Correlación positiva muy fuerte.

sen co/h cos c/h Tag co/h. 1+++2+--3--+4-+- sen"&+cos"&=1 tag= sen&/cos&. 1+tag"& = sec"&. 1+cotg2&=cosec"&. sen &+B = sen&cosB+cos&senB cos (&+B)= cos&cosB+sen&senB tag &+B = tag&+tabB/1+tagB sen &-B = sen&cosB-cos&senB cos &-B = cos&cosB+sen&senB tab &-B = tag&-tagB/1+tagBsen2&= 2sen&cos& cos2&= cos"&-sen"& tan2&= 2tag&/1-tag"&. a/senA=b/senB=c/senC a"=b"+c"-2bc cosA. b" = a"+c"-2sc cos B c"= a"+b"-2ac cosC

w= &u+Bv /u/= raiz cuadrada de u1"+u2". & = arcotag u2/u1 Vector Ab= (b1-a1, b2-a2) M ( a1+b1/2, a2+b2/2) alineados si AB y AC tienen la misma dirección es decir sus coordenadas son proporcionales.... Continuar leyendo "Formulario de Trigonometría y Geometría Analítica: Fórmulas Esenciales" »

Partes: ¡Mirar si hay ln o arc y poner dv=1 (partes always)!

2. Derivar (si no coincide el parénte con núm o den. -> partes)

Generalmente multiplicación o división de funciones

∫un dia vi = una vaca sin (-) cola (∫) vestida de uniforme

Sustitución:  Función más difícil a más fácil

1. Elegir una expresión para remplazar por t

2.Derivar t (dt) y después reemplazar la t y dt por dx y x

3.  Calcular la integral con t y dt. Reemplazar por lo del inicio x

¿Al derivar coincide o se parece a núm o den. (el paréntesis)!

ARITMETICA

Resuelve operaciones

1.- Resuelve la siguiente operación 150 - 3*(10 - 2*3) + 20: 2=

a) -148 b) 126 c) 148 d) -126

2.- El resultado de la siguiente operación es:

a) 26 b) 34 c) -43 d) .26

3.- El resultado de √49 + 3*(12 - 7) =

a) 28 b) -32 c) 32 d) 22

4.- El resultado de la siguiente operación es:

a) 50 b) 48 c) 33 d) 66

5.- La tía de Alejandra tiene un álbum con 34 fotos. La semana pasada colocó 15 fotos más y hoy ha colocado otras 17. ¿Cuántas fotos tiene en el álbum?

a) 50 b) 48 c) 33 d) 66

6.- En un supermercado tienen que cambiar las ruedas de sus 129 carros. Ya han puesto 342 ruedas. ¿Cuántas ruedas les quedan por poner?

a) 163 b) 174 c) 164 d) 124

7.- En el pueblo de Elena hay 3 zonas habitacionales. En la más grande viven... Continuar leyendo "Ejercicios de Matemáticas" »

P.2.-

Suponiendo que las vigas mostradas a continuación tienen un acero longitudinal de extensión total de 6.50m. (sin dobleces)  hasta amarrarse con el acero de columnas y una longitud de luz libre para acero transversal de 5.50m. Calcular el acero por cada tipo de viga (sin desperdicio). Asuma un recubrimiento de 0.03m en todos los lados y un gancho para el acero transversal a 135 grados de tipo sísmico. (3 puntos) 

Solución

Viga VS1:

Lal = (6.50-2x0.03)+(0.30-2x0.03)x2=6.92m

Lat = (0.30-2x0.03)x2+(0.15-2x0.03)x2+0.127x2=0.914m

Nro estribos = 5x2 + (5.50-0.45x2)/0.25+1=30

- W(kg)=6.92x4x0.994+0.914x30x0.25=34.37kg

- Alambre(5%)=0.05x34.37=1.72kg

- Wt(kg)=36.09kg

Viga VA1:

Lal = (6.50-2x0.03)+(0.20-2x0.03)x2=6.72m

Lat = (0.20-2x0.03)x2+(0.20-2x0.

Estadística

Rama de las matemáticas que se encarga de recopilar, organizar, procesar, cualizar e interpretar datos.

DATOS:

Cada uno de los valores obtenidos, respuestas.

Sin procesar:

Datos que no están analizados ni procesados por métodos estadísticos.

Discretos:

Entidades superadas que no pasan de una clase a la siguiente sin que haya rompimiento.

Continuos:

Implican mediciones numéricas que se pueden expresar con número fraccionario y con enteros.

CUALITATIVOS:

Se refiere a características o cualidades que no pueden ser medidas con números (nominal: no admiten orden / ordinal: si existe orden).

CUANTITATIVA:

Se expresa mediante un número, se pueden realizar operaciones con ellas (discretas: toma un número finito de valores / continua: toma... Continuar leyendo "Estadística: Recopilación, Organización y Análisis de Datos" »