Test de Hipótesis y Estimación: Máxima Verosimilitud, Momentos, Chi-cuadrado y Kolmogorov-Smirnov

1. Determina si es falsa: MMV
   1. El método de máxima verosimilitud permite hallar el valor que maximiza la función de verosimilitud
   2. Todo estimador de máxima verosimilitud no es necesariamente eficiente
   3. Los estimadores máximo-verosímiles son siempre insesgados
   4. Asintóticamente, los estimadores máximo verosímiles son eficientes
2. ¿Cuál es falsa sobre el método de los momentos?
   1. El procedimiento del método de los momentos no garantiza el cumplimiento de buenas propiedades de los estimadores obtenidos
   2. El procedimiento del método de los momentos permite obtener siempre el estimador del parámetro poblacional
   3. El método no necesita conocer la distribución de probabilidades de la población
   4. En condiciones generales, el método proporciona estimadores consistentes
3. Dos investigadores han construido dos intervalos de confianza sobre el mismo conjunto de datos para la media poblacional, de la que se conoce la desviación típica poblacional. El intervalo del primer investigador es más preciso que el del segundo, entonces:
   1. El investigador 1 ha utilizado un nivel de confianza mayor que el investigador 2
   2. El 1 ha utilizado un nivel de confianza menor que el 2
   3. El investigador 1 ha utilizado la distribución t-Student y el 2 la normal
   4. El investigador 1 ha utilizado la normal y el 2 la t-Student
4. El gerente de la empresa de transportes Kier desea ahorrar en el coste mensual que supone repostar a su flota de camiones en 2 estaciones de servicio. Para detectar si existen diferencias significativas en el precio diario del combustible en cada estación, toma una muestra de los 2 últimos meses de los precios del mismo. El contraste que realizará:
   1. Contraste de muestras emparejadas
   2. Contraste de homogeneidad
   3. Contraste de diferencias de medias con varianzas poblacionales conocidas
   4. Contraste de diferencias de medias con varianzas poblacionales desconocidas (no asumidas iguales)
5. Respecto al contraste de Kolmogorov es cierta:
   1. Solo es aplicable a muestras grandes y que procedan de población normal
   2. No se necesita construir intervalos o grupos y no se pierde información
   3. La región crítica es bilateral y a la derecha
   4. Ninguna
6. Respecto al contraste de chi-cuadrado, es falsa:
   1. Los datos muestrales proceden del modelo teórico planteado
   2. Se pierde información y los intervalos son subjetivos cuando tenemos que agrupar los datos muestrales
   3. Solo es aplicable si la función poblacional se supone continua
   4. El resultado del contraste puede ser diferente si utilizamos un test de Kolmogorov y uno de la chi-cuadrado

1. Determina cuál es cierta:
   1. El nivel de significación de un contraste es la probabilidad de que la hipótesis nula sea falsa
   2. La potencia de un contraste es la probabilidad de aceptar la hipótesis nula que es cierta
   3. Si una hipótesis nula se rechaza al 2,5% de significación, pero no se puede al 1%, significa que entre ambos se encuentra el p-valor
   4. El p-valor de un contraste es la probabilidad de que la hipótesis nula sea cierta
2. Determina la falsa:
   1. Si la hipótesis nula se rechaza frente a la alternativa al 5%, usando los mismos datos se debe rechazar también al 5%
   2. Si la hipótesis nula se rechaza frente a la alternativa al 1%, usando lo mismo se debe rechazar también al 5%
   3. Si la nula se rechaza al 2,5% de significación, pero no se puede rechazar al 1%, significa que entre ambos se encuentra el p-valor
   4. El error de tipo I sucede cuando la verdadera hipótesis nula se rechaza

Método de los momentos: propiedades: Si se estima un momento respecto del origen de la distribución poblacional, se llega a que el estimador es insesgado. Según el mencionado teorema de Khintchine, si se estima un momento respecto del origen de la distribución poblacional, se tienen estimaciones consistentes y con el teorema de Lindeberg-Lévy se comprueba la normalidad asintótica. Si se considera en general (no necesariamente estimando un momento poblacional), los estimadores son consistentes pero no son centrados (insesgados) ni de varianza mínima. La mayor ventaja es su simplicidad. La mayor desventaja es que no considera toda la información disponible sobre la distribución poblacional y sobre la muestra (solo utiliza los momentos), por lo que puede llegar a suministrar estimaciones claramente “malas”.

MMV: propiedades. Propiedades asintóticas que presenta: son asintóticamente insesgados y consistentes; si existe un estimador eficiente, es el obtenido por máxima verosimilitud; siempre se llega a la normalidad y eficiencia asintóticas; si un parámetro tiene un estadístico suficiente, el estimador máximo-verosímil es función de dicho estadístico; y la estimación máximo-verosímil es invariante ante la transformación del parámetro.

Nivel de significación: Es la probabilidad de rechazar H0 (muestra en RC) cuando H0 es cierta. Es fijado a priori por el investigador mediante un número pequeño (1%, 5%) al diseñar el experimento según opinión a priori de H0 y según las consecuencias de equivocarnos. Puede ser la referencia para comparar con el p-valor experimental.

El nivel crítico “p” p-valor o significación: probabilidad de obtener una discrepancia mayor o igual a la observada en la muestra cuando H0 es cierta, siendo el valor “p” conocido después de realizar el experimento aleatorio (tras obtener la muestra, ya que es un valor “experimental” o “empírico”). Es la probabilidad de que por puro azar se obtenga una muestra “más extraña” que la obtenida; es la probabilidad de la región crítica que comienza exactamente en el valor del estadístico obtenido de la muestra, suponiendo H0 cierta. Cuanto menor sea “p”, menor es la credibilidad de H0.

*Rechazar la hipótesis nula no prueba que sea falsa, ya que se puede cometer error de tipo I; y no rechazar la hipótesis nula no prueba que sea cierta, ya que se puede cometer error de tipo II.

Chi-cuadrado o Pearson: Puede aplicarse a distribuciones de todo tipo (variable discreta o continua), se adapta fácilmente si hay que estimar parámetros poblacionales, no se aplica en muestras pequeñas (se basa en la distribución asintótica de su discrepancia), y los intervalos o clases (si es necesario construirlos) tienen carácter subjetivo. La hipótesis nula que se contrasta es que los datos proceden de un determinado modelo.

Contraste Kolmogorov-Smirnov: Compara las funciones de distribución teórica y empírica. Solo es válido para variables continuas. La hipótesis nula que se contrasta es que los datos proceden de un determinado modelo. El test se basa en que la distribución del estadístico discrepancia “Dn” es la misma sea cual sea la distribución poblacional de partida. No necesita agrupaciones o clases (no pierde información), es aplicable a muestras pequeñas, es más potente, es conservador y tiende a aceptar la hipótesis nula.