Sistemas de numeración: tipos, reglas y sistema decimal

Resumen

El documento explica qué es un sistema de numeración y su base, y describe los tres tipos principales: aditivo, multiplicativo y posicional. Después detalla las reglas de los sistemas posicionales y las características del sistema decimal, terminando con la expresión polinómica de un número.

Puntos clave

Un sistema de numeración es un conjunto finito de signos y reglas que permiten expresar cualquier número.
La base es el número de unidades que se agrupan para formar una unidad del orden inmediato superior.
Los sistemas posicionales usan b símbolos (0 a b-1) y un cero para indicar la ausencia de unidades de un orden.
En el sistema decimal, diez unidades de un orden forman una unidad del orden superior, y las unidades de distinto orden son potencias de la base.
El valor de un número es la suma de los productos de sus cifras por su valor de posición.
La expresión polinómica descompone un número como suma de cifras multiplicadas por potencias de 10.

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Sistemas de Numeración

Definiciones

Un sistema de numeración es un conjunto finito de signos y reglas que permiten expresar cualquier número.
La base de un sistema de numeración es el número de unidades que se agrupan en un orden dado para formar una unidad del orden inmediato superior.

Tipos de Sistemas de Numeración

Existen diferentes tipos de sistemas de numeración, entre ellos:

Sistema aditivo regular: Se definen símbolos para la unidad, la base y las potencias de la base. El número se obtiene sumando los valores de los signos en su representación.
Sistema multiplicativo regular: Se definen símbolos para la unidad, la base, las potencias de la base y los números entre la unidad y la base. El número se obtiene multiplicando cada potencia de la base por el símbolo que la precede y sumando los resultados con las unidades.
Sistema posicional regular: Se definen símbolos para la unidad y los números entre la unidad y la base. También se define un símbolo, el cero, para indicar la ausencia de unidades. Cada signo en la representación del número, según su posición, hace referencia a las unidades o a una potencia de la base.

Reglas de los Sistemas de Numeración Posicionales

Con una base b, se utilizan b símbolos (cifras o guarismos): 0, 1, 2, 3, ..., b-1.
Cada b unidades de primer orden forman una unidad de segundo orden, escrita a la izquierda de las unidades de primer orden.
Se continúa el proceso como en el punto 2.
La ausencia de unidades de un orden se indica con un cero en la posición correspondiente.
La base b se representa por 10_(b y es la unidad de segundo orden; la unidad de tercer orden, b², se expresa como 100_(b.

Sistema Decimal de Numeración

El sistema decimal se caracteriza por:

Base diez: El principio de agrupamiento es diez.
Unidades de orden superior: Diez unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior, escrita a la izquierda de la primera. Las unidades de distinto orden son las potencias de la base.
Multiplicadores: Diez cifras o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) multiplican las potencias de la base.
Valor de posición: Las unidades de orden superior se representan por posiciones ordenadas en orden ascendente de derecha a izquierda.
Valor relativo: Cada cifra tiene un valor relativo según su posición.
El valor del número es la suma de los productos de las cifras por su valor de posición.

Expresión Polinómica de un Número

Todo número puede expresarse como la suma de productos de potencias de base 10 por un número de una cifra.

El número abcd se expresa como: a x 10³ + b x 10² + c x 10 + d

Esta es la expresión polinómica del número.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la base de un sistema de numeración?

La base es el número de unidades que se agrupan en un orden dado para formar una unidad del orden inmediato superior. En el sistema decimal la base es diez.

¿Cuántos símbolos se usan en un sistema posicional de base b?

Se utilizan b símbolos o cifras, desde el 0 hasta b-1. En el sistema decimal son diez cifras, del 0 al 9.

¿Qué es la expresión polinómica de un número?

Es la forma de expresar un número como suma de productos de potencias de base 10 por una cifra. Por ejemplo, el número abcd se escribe como a x 10^3 + b x 10^2 + c x 10 + d.