¿Cuál es la diferencia entre variaciones y combinaciones?

En las variaciones importa el orden de colocación de los elementos, por lo que dos grupos con los mismos elementos en distinto orden son distintos. En las combinaciones el orden no importa, y solo se distingue un grupo de otro si difieren en sus elementos.

¿Cuándo se usa la fórmula de permutaciones con repetición?

Se usa cuando entre los m elementos hay grupos de elementos iguales de distintos tipos (a1, a2, ..., ar). El número de permutaciones es m!/(a1!a2!...ar!).

Teorema de Bayes, probabilidad total y variaciones, permutaciones y combinaciones

Resumen

El documento recoge las fórmulas básicas de probabilidad total y del teorema de Bayes, junto con los conceptos de variaciones, permutaciones y combinaciones, con y sin repetición. Define cada tipo de agrupación y muestra la fórmula para calcular su número total. Es una referencia útil para resolver problemas de análisis combinatorio y de probabilidad condicionada.

Puntos clave

Probabilidad total: P(B) = suma de P(B|Ai)P(Ai) sobre los sucesos Ai.
Teorema de Bayes: P(Ak|B) = P(B|Ak)P(Ak) / P(B).
Variaciones sin repetición: V(m,n) = m!/(m-n)!, con m ≥ n.
Variaciones con repetición: VR(m,n) = m^n, pudiendo ser n mayor que m.
Permutaciones sin repetición: P(m) = m!.
Permutaciones con repetición: m!/(a1! a2! ... ar!), con a1+a2+...+ar = m.
Combinaciones sin repetición: C(m,n) = m!/(n!(m-n)!).
Combinaciones con repetición: CR(m,n) = C(m+n-1, n).

Ponte a prueba

Probabilidad Total

P(B) = P(B|A₁) P(A₁) + P(B|A₂)P(A₂) + ... + P(B|A_n)P(A_n)

Teorema de Bayes

Variaciones sin repetición

Sean m, n dos números naturales tales que (m ≥ n). Sea un conjunto formado por m elementos distintos. Llamaremos variación sin repetición (o simplemente variación) de esos m elementos tomados de n en n, a todo grupo ordenado formado por n elementos distintos de los m, de tal manera que dos variaciones o grupos se consideran distintas si:

Difieren en alguno de sus elementos
O bien teniendo los mismos elementos difieren en el orden de colocación

El número total de variaciones de m elementos tomados de n en n es:

V_m,n = m!/(m-n)!

Variaciones con repetición

Sea un conjunto formado por m elementos distintos. Llamaremos variación con repetición de esos m elementos tomados de n en n a todo grupo ordenado formado por n elementos no necesariamente distintos, tomados de los m.

Consideraremos distintas dos variaciones si difieren en algún elemento, o si teniendo los mismos estos difieren en el orden de colocación.

Al poder repetir elementos puede ocurrir que n > m

El número total de variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n es:

VR_m,n = mⁿ

Permutaciones sin repetición

Sea un conjunto formado por m elementos distintos. Llamaremos permutación sin repetición (o simplemente permutación) de m elementos a cada uno de los distintos grupos de m elementos que se pueden formar, difiriendo un grupo de otro únicamente en el orden de colocación de sus elementos.

El número total de permutaciones posibles de orden m se denota por P_m

P_m = V_m,m

P_m = m!

Permutaciones con repetición

Sea un grupo de m elementos, entre los cuales existen a₁ elementos iguales de un cierto tipo, a₂ elementos iguales de otro cierto tipo y así sucesivamente hasta a_r elementos iguales de otro tipo. Las permutaciones de esos m elementos bajo esas condiciones se denominan permutaciones con repetición entre los que a₁ son iguales, a₂ son iguales,…, y así sucesivamente hasta a_r iguales.

El número de permutaciones con repetición de m elementos se denota por PR_m^{a₁,a₂,…,a_r}

PR_m^{a₁,a₂,…,a_r}= m!/(a₁!a₂!...a_r!), a₁+a₂+…+a_r=m

Combinaciones sin repetición

Consideremos dos números naturales n, m tales que m ≥ n. Sea un conjunto formado por m elementos distintos. Llamaremos combinación sin repetición (o simplemente combinación) de esos m elementos tomados de n en n, a todo grupo formado por n elementos tomados de los m. de manera que dos combinaciones o grupos se consideran distintos si difieren en alguno de sus elementos.

El número de combinaciones de m elementos tomados de n en n se denota por C_m,n o por C_mⁿ

C_m,n= m!/n!(m-n)!

Sea un conjunto formado por m elementos distintos. Llamaremos combinación con repetición de esos m elementos tomados de n en n, a todo grupo formado por n elementos distintos o repetidos tomados de los m, de manera que dos combinaciones o grupos se consideran iguales si están formados por los mismos elementos y repetidos el mismo número de veces.

El número de combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n se denota por CR_m,n o por CR_mⁿ

CR_m,n = C_m+n-1,n

CR_m,n = (m+n-1)! / (n!(m-1)!)