Radioactividad: Problemas Resueltos y Conceptos Clave

Ejercicios Resueltos de Radiactividad y Desintegración Nuclear

Desintegración Alfa y Beta

Desintegración Alfa:

^A_ZX → ^A-4_Z-2Y + ⁴₂He

Desintegración Beta^-:

^A_ZX → ^A_Z+1Y + ⁰_-1e + φe

Desintegración Beta⁺:

^A_ZX → ^A_Z-1Y + ⁰₊₁e

Problema 1: Cálculo de la Constante de Desintegración y Masa Restante

Un elemento con un periodo de semidesintegración de 25000 años empieza con 10 gramos. Calcular la constante de desintegración y la masa al cabo de 50000 años.

T_1/2 = 25000 años

M₀ = 10 gramos

Constante de desintegración: λ = ln(2) / T_1/2 = 0.693 / T_1/2

Masa: M = M₀ * e^-λt

Problema 2: Cálculo de la Actividad de un Compuesto

Calcular la actividad de 100 gramos de C₆H₁₂O₅.

Fracción de carbono: 6 * 12 / (6 * 12 + 12 * 1 + 5 * 16) = 0.44 (44 gramos por cada 100 gramos)

Moles de carbono: 44 gramos / 12 gramos/mol = 3.7 moles

Número de átomos de carbono: 3.7 moles * 6.023 * 10²³ átomos/mol

Átomos de ¹⁴C: (Número de átomos de carbono) * 1.3 * 10^-12

λ = 0.693 / 5730 años

Actividad: A = λ * N₀ = Bq

Problema 3: Cálculo del Periodo de Semidesintegración

Una sustancia se reduce a la cuarta parte en 10 días. Calcular el periodo de semidesintegración.

λ = 0.693 / T_1/2

N = N₀ / 4

N₀ / 4 = N₀ * e^{-ln(2) * t / T_1/2}

ln(4) = 0.693 / T_1/2 * 10 días

T_1/2 = 5 días

Problema 4: Cálculo de la Masa de Tritio Necesaria

Una reacción ... + ... → ... + 17.59 MeV tiene una eficiencia global del 15%. Calcular la masa de tritio por semana necesaria para una potencia de 2000 MW, si la masa del tritio es 3.01700 u.

E = 2000 * 10⁶ * 7 * 24 * 3600 / 0.15 (Julios/s * semana * días * ... dividido por rendimiento)

E' = 2.818 * 10^-12 eV (Energía en Julios)

Número de átomos a fusionar por semana: E / E'

Masa necesaria: (Número de átomos) * (Masa atómica) * 1.602 * 10^-19 (u a Kg)

Problema 5: Cálculo de la Energía de Enlace Nuclear

Calcular la energía de enlace y la energía de enlace por nucleón para ¹²₆C.

Datos: m_p = 1.0075 u, m_n = 1.0089 u, m_e = 0.00055 u, m_n = 12 - 6 * m_e = 11.9967 u

6 * m_p + 6 * m_n - 6 * m_e = 12.10224 u

Δm = 12.10224 - 12 = 0.10224 u

E = Δm * c² = 0.10224 u * 931 MeV/c² = MeV

Energía de enlace por nucleón: E = 95.2 MeV / 12 nucleones = 7.9 MeV/nucleón

Problema 6: Datación Radiométrica

Determinar la edad de un mineral sabiendo que por cada Kg de ²³⁸₉₂U hay 320 gramos de ²⁰⁶₈₂Pb. El plomo viene de la desintegración del uranio. T = 4.5 * 10⁹ años.

Átomos de U: 6.02 * 10²³ * 1000 / 238 = 2.53 * 10²⁴ átomos de U (N)

Átomos de Pb: 6.02 * 10²³ * 320 / 206 = 9.35 * 10²³ átomos de Pb (que antes eran U)

Uranio inicial: N₀ = (Átomos de U) + (Átomos de Pb)

λ = ln(2) / T

t = (-1 / λ) * ln(N / N₀)

Problema 7: Datación con Carbono-14

Una madera produce 13536 desintegraciones por día y gramo de C. Determinar la edad si actualmente experimenta 920 desintegraciones por hora y gramo de C, y el periodo de semidesintegración del ¹⁴C es 5730 años.

A₀ = 13536 desintegraciones / 24 horas * gramos

λ = ln(2) / T

A = A₀ * e^-λt

t = (1 / λ) * ln(A₀ / A) = 4041 años

Problema 8: Cálculo de la Masa de un Isótopo Activo

Lodo ¹³¹I con un periodo de semidesintegración de 8 días. Calcular la masa del isótopo activo pasados 20 días partiendo de 100 gramos.

λ = ln(2) / 8 días

M = M₀ * e^-λt = 17.69 gramos

Problema 9: Cálculo de la Energía Liberada en una Reacción Nuclear

Una reacción nuclear pierde una masa de 3 * 10^-6 gramos. Calcular la energía liberada en el proceso en kWh y la potencia disponible si hay un millón de reacciones por minuto.

E = Δm * c² = 2.7 * 10⁸ Julios = 75 kWh

Potencia disponible: P = E / t = 2.7 * 10⁸ * 10⁶ / 60 s = Watios

Problema 10: Cálculo del Número de Núcleos Desintegrados y Actividad

Disponemos de un mol de bismuto ²¹⁰Bi. Calcular el número de núcleos desintegrados en dos días y la actividad del núclido pasados diez días si el periodo de semidesintegración es de 5 días.

λ = ln(2) / T = 1.604 * 10^-6 días

N₀ = 6.023 * 10²³

ΔN = N₀ - N₀ * e^-λt

Actividad = λ * N₀ * e^... = Bequerels