Radiación de cuerpo negro: leyes de Wien, Stefan-Boltzmann y la solución de Planck

1.1. La radiación de cuerpo negro

Definición de radiación electromagnética (EM): La energía electromagnética se propaga mediante ondas EM. Las magnitudes fundamentales que la caracterizan son:

• Longitud de onda: 𝜆
• Frecuencia (f o 𝜈): medida en hertzios (Hz o s⁻¹).

Relación entre magnitudes:
c = f · 𝜆 ⇒ f = c / 𝜆
Donde c = 3 × 10⁸ m/s es la velocidad de la luz.

Concepto de cuerpo negro: Es un objeto ideal que absorbe toda la radiación que recibe, lo que permite estudiar el comportamiento térmico de los materiales basándose únicamente en su temperatura (eliminando variables como el color, el material o la forma). Se modela experimentalmente como una caja negra rugosa en su interior con un pequeño orificio; la radiación que emerge de él es la radiación de cuerpo negro (generada por efecto Joule al calentar sus paredes).

Leyes experimentales

- Ley de desplazamiento de Wien: Describe cómo se desplaza la longitud de onda de emisión máxima (𝜆_max) en función de la temperatura T:
𝜆_max = (2,898 × 10⁻³ m·K) / T

- Ley de Stefan-Boltzmann: La potencia emitida por unidad de superficie es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta:
I_R = 𝜎 · T⁴ [W/m²]
Donde 𝜎 = 5,67 × 10⁻⁸ W/(m²·K⁴) es la constante de Stefan-Boltzmann.
La potencia total emitida es:
P = I_R · A = 𝜎 · A · T⁴ [W]

El fallo de la física clásica y la catástrofe ultravioleta

Desde la física clásica, la densidad de energía espectral depende de:

• Los átomos del cuerpo negro considerados como osciladores armónicos:
  E = (c³ / (8 · 𝜋 · f²)) · 𝜌(f, T)
• La energía media por grado de libertad según el principio de equipartición clásica:
  E = k_B · T (aquí radica el error clásico).

Ley de Rayleigh-Jeans

Al juntar ambas expresiones se obtiene:
𝜌(f, T) = (8 · 𝜋 · f² / c³) · k_B · T

Esta ley funciona bien a longitudes de onda largas (bajas frecuencias f). Sin embargo, a longitudes de onda cortas (altas frecuencias f), predice que la intensidad de radiación tiende a infinito (∞), lo cual se conoce como la catástrofe ultravioleta.

Solución de Max Planck (1900)

Planck resolvió la catástrofe ultravioleta mediante tres hipótesis fundamentales:

1. La energía no se absorbe ni se emite de forma continua, sino en paquetes discretos o múltiplos de una energía base 𝜀:
   E = n · 𝜀 (donde n = 1, 2, 3... representa el número de cuantos).
2. La energía de cada cuanto depende directamente de la frecuencia:
   𝜀 = h · f
3. Para evitar la catástrofe UV, la energía está acotada según 𝜀 ≤ k_B · T

Fórmula de Planck para la densidad de energía

Reemplaza k_B · T por la energía térmica media cuantizada (h · f) / (e^(h·f / (k_B·T)) - 1):
𝜌(f, T) = (8 · 𝜋 · f² / c³) · [ (h · f) / (e^(h·f / (k_B·T)) - 1) ]

Comportamiento en los límites

• A frecuencias bajas (f → 0, 𝜆 larga): se aplica la aproximación de Taylor e^(h·f / (k_B·T)) ≈ 1 + (h·f / (k_B·T)), por lo que el término entre corchetes tiende a k_B · T y se recupera la ley clásica de Rayleigh-Jeans.
• A frecuencias altas (f → ∞, 𝜆 corta): la exponencial del denominador domina, provocando que el término tienda a 0 y evitando la catástrofe UV.

Constante de Planck:
h = 6,63 × 10⁻³⁴ J·s = 4,13 × 10⁻¹⁵ eV·s