Conceptos Fundamentales de Variables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad

Introducción a las Variables Aleatorias

Una variable aleatoria es una característica numérica observable en cada individuo de una población. Se denotan habitualmente por X, Y, etc.

Tipos de Variables Aleatorias

• Discretas: Son aquellas que solo pueden tomar un número finito de valores.
• Continuas: Son aquellas que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo.

Función de Probabilidad Asociada a una Variable Aleatoria Discreta

Sea X una variable aleatoria discreta. Se llama función de probabilidad asociada a X a la función f(x) que nos indica las probabilidades con las que x puede tomar valores. La función puede venir dada por una fórmula o por una tabla.

Distribución Binomial

Se dice que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, y se escribe X ~ Bi(n, p), si es del tipo: número de éxitos al repetir un experimento de Bernoulli n veces. La función de probabilidad de una variable de este tipo viene dada por la fórmula correspondiente.

Función de Densidade Asociada a unha Variable Aleatoria Continua

Es la función f(x) que nos indica cómo está repartida la probabilidad que queda por debajo de su gráfica.

Distribución Normal

Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de parámetros μ y σ, y se escribe X ~ N(μ, σ), si su función de densidad es una campana de Gauss centrada en X = μ y con puntos de inflexión en x = μ - σ y x = μ + σ.

Media e Desviación Típica dunha Variable Aleatoria Normal

Sea X una variable aleatoria con distribución N(μ, σ).

• Se llama media de X al valor del parámetro μ. Como su propio nombre indica, es el valor medio que toma la variable en los n individuos de la población.
• Se llama desviación típica de X al valor del parámetro σ. Este parámetro nos indica el grado de dispersión de los valores que puede tomar la variable.

Tipificación dunha Variable Aleatoria Normal

Sea X una variable aleatoria con distribución normal (μ, σ). Entonces la operación (x - μ) / σ, que se llama tipificación de X, da por resultado Z.

Variable Aleatoria Normal Tipificada

Es la variable aleatoria normal de parámetros μ = 0 y σ = 1, denotada por Z. Entonces la gráfica de su función de densidad es una campana de Gauss centrada en μ = 0 y con los puntos de inflexión en x = -1 y x = 1.

Parámetro "Media dunha Mostra Concreta"

Consideremos una variable aleatoria X. Supongamos que tenemos los valores x₁, x₂, ... que toma la variable X en los n individuos de una muestra. Se llama media de esa muestra, y se escribe x̄, al siguiente cociente:

x̄ = (x₁ + x₂ + x₃ + ...) / n

Teorema Central del Límite (TCL)

Sea X una variable aleatoria con distribución N(μ, σ), entonces la variable x̄ (media de una muestra genérica de tamaño n) tiene distribución N(μ, σ / √n).