Preguntas y Respuestas Clave de Inferencia Estadística y Probabilidad

Cuestiones Teóricas y Prácticas de Inferencia Estadística

1. Propiedades de la Distribución Normal

Pregunta: Si para $X \sim N(0, \sigma^2)$ se tiene que $P(X < x) = 0.7345$, ¿qué se puede determinar acerca del valor de $x$? ¿Por qué? ¿Cuál sería $P(X < -x)$?

Respuesta:

• Se deduce que $x$ es positivo, puesto que dicho valor acumula más del 50% de la probabilidad total y la distribución normal es simétrica respecto a su media $\mu = 0$.
• Al ser $X$ simétrica respecto a $\mu = 0$, se cumple que:
  $$0.7345 = P(X < x) = P(X > -x) = 1 - P(X < -x)$$ Por lo tanto:
  $$P(X < -x) = 1 - 0.7345 = 0.2655$$

2. Unidades de Medida en Estadística Descriptiva y Bidimensional

Pregunta: Si la variable $X$ está expresada en euros (€) e $Y$ en kilómetros (km), ¿cuáles serían las unidades de la covarianza y del coeficiente de correlación lineal entre ambas variables?

Respuesta:

• La covarianza tiene como unidades el producto de ambas variables: € · km.
• El coeficiente de correlación lineal carece de unidades; es una medida adimensional.

3. Eficiencia de un Estimador Puntual

Pregunta: Si un estimador es eficiente, ¿qué se puede afirmar acerca de su varianza? ¿Sería asintóticamente eficiente? ¿Por qué?

Respuesta:

• Se afirma que posee la mínima varianza posible entre todos los estimadores insesgados, coincidiendo dicha varianza con la cota de Cramér-Rao.
• Sí sería asintóticamente eficiente, ya que la definición de eficiencia en muestras finitas no impone restricciones sobre el tamaño muestral; por consiguiente, también se satisface para muestras de gran tamaño.

4. Amplitud y Precisión en Intervalos de Confianza

Pregunta: Si para la media desconocida de una población que sigue el modelo de Poisson se han obtenido, a partir de la misma muestra y con la misma cantidad pivotal, los intervalos $(0.5, 5.5)$ y $(2, 4)$, ¿qué se puede afirmar acerca del nivel de confianza de los mismos? ¿Cuál sería el valor de la media muestral?

Respuesta:

• El nivel de confianza del segundo intervalo $(2, 4)$ es menor que el del primero, ya que es menos amplio (más preciso); la relación entre la amplitud de un intervalo y el nivel de confianza es directamente proporcional.
• La media muestral es igual a 3, al coincidir con el punto central o media aritmética de los extremos de ambos intervalos: $\frac{0.5 + 5.5}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$.

5. Hipótesis Alternativa Compuesta y Tipos de Error

Pregunta: Si en un contraste de hipótesis la hipótesis alternativa es compuesta, ¿qué se puede afirmar acerca de las probabilidades de cometer el error de tipo I y el error de tipo II?

Respuesta:

• Error de tipo I: No se ve alterado por la hipótesis alternativa, dado que este error corresponde a la probabilidad de rechazar la hipótesis nula siendo esta verdadera ($H_0$), por lo que depende exclusivamente de $H_0$.
• Error de tipo II: No se puede determinar de forma puntual o unívoca, puesto que al ser la alternativa ($H_1$) compuesta, no especifica un valor exacto del parámetro. Únicamente podría expresarse como una función de potencia según los distintos valores posibles del parámetro.

6. Propiedades de Vectores Aleatorios Multivariantes

Pregunta: Sea $(X_1, X_2, X_3, \dots, X_n)$ un vector aleatorio con distribución multivariante con matriz identidad como matriz de varianzas-covarianzas. Determine $\text{Var}(X_4 - X_7)$ y explique en qué se basa para el resultado.

Respuesta:

La varianza es 2. La fórmula general para la varianza de una combinación lineal es:

$$\text{Var}(X_4 - X_7) = \text{Var}(X_4) + \text{Var}(X_7) - 2\text{Cov}(X_4, X_7)$$

Dado que la matriz de varianzas-covarianzas es la matriz identidad:

• Los elementos de la diagonal principal son iguales a 1: $\text{Var}(X_4) = 1$ y $\text{Var}(X_7) = 1$.
• Los elementos fuera de la diagonal principal son nulos: $\text{Cov}(X_4, X_7) = 0$.

Sustituyendo los valores:

$$\text{Var}(X_4 - X_7) = 1 + 1 - 2(0) = 2$$

7. Modelos de Poisson y Exponencial

Pregunta: ¿Qué quiere decir que el modelo exponencial carece de moda? ¿Cómo se relaciona con el modelo de Poisson?

Respuesta:

• Indica que su función de densidad es estrictamente decreciente en su dominio $(x \ge 0)$, por lo que no presenta un máximo relativo interior local (máximo en sentido clásico de punto crítico).
• Relación con el modelo de Poisson: Ambos modelos describen el mismo proceso estocástico (proceso de Poisson). Mientras que la distribución de Poisson modela el número discreto de ocurrencias de un suceso por unidad de tiempo o espacio, la distribución exponencial modela el tiempo continuo transcurrido hasta la primera ocurrencia o entre dos sucesos consecutivos.