Matemáticas: Ciencia Formal, Filosofía y Sistemas Axiomáticos

Las Ciencias Formales: Las Matemáticas

Una Gran Creación de la Inteligencia

Como ejemplo de una ciencia formal, nos centraremos en las matemáticas, un saber que despierta pasiones, a favor o en contra. Bajo el nombre "matemáticas" se incluyen distintas disciplinas: álgebra, análisis matemático, geometría, etc. Desde la filosofía las contemplamos como una de las grandes maravillas de la inteligencia humana; son un lenguaje que nos permite calcular, hablar de la realidad de un modo preciso y eficaz, e inventar conceptos nuevos.

En su origen, las matemáticas se inventaron para resolver problemas. Todas las culturas han necesitado contar cosas. Los números que nos sirven para contar se llaman "números naturales". Pero además de estos, en las matemáticas han ido apareciendo muchos otros tipos de números: irracionales, complejos, etc. Entre los tipos de números, destaca particularmente el 0. Es un número extraño porque representa la ausencia de cantidad, pero es esencial en el sistema de numeración.

Nosotros, con las letras del alfabeto, podemos escribir todas las palabras posibles. En matemáticas sucede algo parecido: si tuviéramos que escribir cada cantidad con un signo distinto, sería imposible recordarlas ni operar con ellas.

Matemáticas y Sistemas Formales

A los filósofos de las matemáticas les ha preocupado mucho saber si las matemáticas y los números se descubren —es decir, si existían ya— o si los inventan los matemáticos. ¿Cómo puede ser que las matemáticas, que son un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, se adecuen tan admirablemente a los objetos de la realidad?

Sistema es un conjunto de elementos relacionados. Las ciencias formales —las matemáticas y la lógica formal, que estudia las formas correctas de razonamiento— analizan y construyen sistemas formales, usando un método deductivo. Se pueden inventar todos los sistemas formales que se quieran.

Requisitos de un Sistema Formal

Para crearlo, hay que cumplir ciertas cosas, como:

• Definir los términos que se van a usar

  Es necesario ser muy riguroso en el uso de los términos y conceptos, para que luego no se produzcan errores derivados de imprecisiones.

• Definir los axiomas o postulados

  Son aquellos principios que no se pueden demostrar, pero que admitimos como fundamento de todo el sistema que vamos a construir.

• Establecer las reglas de transformación

  Son los procedimientos para desarrollar el sistema.

• Deducir los teoremas

  Son las proposiciones válidas dentro de un sistema, porque derivan de los axiomas básicos y siguen las reglas de transformación.

Las matemáticas están presentes en nuestra vida diaria. Nada funcionaría sin las matemáticas. Y sin embargo, a algunas personas les produce un tremendo malestar.

Criterios de Verdad Matemática

La verdad de las matemáticas no se basa en la experiencia, sino en la coherencia del propio sistema. Dentro de un sistema formal, son verdades aquellas proposiciones que hayan sido derivadas de los axiomas fundamentales, utilizando correctamente las reglas de transformación.

Un sistema axiomático debe cumplir:

• Consistencia

  A partir de un sistema de axiomas, no puede concluirse una contradicción.

• Independencia

  Ningún axioma ha de poder derivarse como teorema a partir de los otros axiomas.

Los sistemas formales son absolutamente seguros; por eso, hay otras ciencias que han intentado aplicar el modelo axiomático a su propio desarrollo. Se puede considerar que la ética se funda en un axioma fundamental. La elección de un axioma en vez de otro depende de la teoría que se quiera construir. Por ejemplo, cuando Einstein trabajaba en su teoría de la relatividad, adoptó la geometría de espacio curvo que se aplicaba mejor a ella.