Integrales por Sustitución, Partes y Funciones Racionales: Ejercicios Resueltos Paso a Paso

Integración por sustitución

∫₀¹ 2x eˣ² dx

u = x² ⇒ du = 2x dx; x = 0 → u = 0, x = 1 → u = 1

∫₀¹ eᵘ du = [eᵘ]₀¹ = e¹ − e⁰ = e − 1

∫₀^(π/2) sin x cos x dx

u = sin x, du = cos x dx

[u²/2]₀¹ = 1/2

I = ∫₀¹ x / (x² + 1)² dx

Sustitución: u = x² + 1 → du = 2x dx → x dx = 1/2 du

Límites: x = 0 → u = 1; x = 1 → u = 2

Cálculo: 1/2 ∫₁² u⁻² du = 1/2 [u⁻¹ / (−1)]₁² = 1/2 (−1/2 + 1)

Resultado: 1/4

∫₀¹ x³ eˣ⁴ dx (con u = x⁴)

Sustitución: u = x⁴ → du = 4x³ dx → x³ dx = 1/4 du

Límites: x = 0 → u = 0; x = 1 → u = 1

Cálculo: 1/4 ∫₀¹ eᵘ du = 1/4 [eᵘ]₀¹ = 1/4 (e − 1)

Resultado: (e − 1)/4

∫₀^(π/4) tan x sec² x dx

Sustitución: u = tan x → du = sec² x dx

Límites: x = 0 → u = 0; x = π/4 → u = 1

Cálculo: ∫₀¹ u du = [u²/2]₀¹ = 1/2 − 0

Resultado: 1/2

∫₀^(1/2) ln(1 + x) / (1 + x) dx

Sustitución: u = ln(1 + x) → du = 1/(1 + x) dx

Límites: x = 0 → u = ln 1 = 0; x = 1/2 → u = ln(3/2)

Cálculo: ∫₀^(ln(3/2)) u du = [u²/2]₀^(ln(3/2)) = 1/2 · (ln(3/2))²

Resultado: 1/2 · (ln(3/2))²

Integración por partes

∫₀¹ x eˣ dx

Partes: u = x → du = dx; dv = eˣ dx → v = eˣ

Fórmula: [uv] − ∫ v du

Cálculo: [x eˣ]₀¹ − ∫₀¹ eˣ dx = e − (e − 1)

Resultado: 1

∫₁ᵉ ln x dx

Partes: u = ln x → du = 1/x dx; dv = dx → v = x

Cálculo: [x ln x]₁ᵉ − ∫₁ᵉ 1 dx = e − (e − 1)

Resultado: 1

∫₀^(π/2) x cos x dx

Partes: u = x → du = dx; dv = cos x dx → v = sin x

Cálculo: [x sin x]₀^(π/2) − ∫ sin x dx = π/2 − [−cos x]₀^(π/2)

Cálculo: π/2 − (0 + 1)

Resultado: π/2 − 1

Sustitución y partes combinadas

∫₀¹ x ln(1 + x²) dx

1. Sustitución: t = 1 + x² → dt = 2x dx → x dx = 1/2 dt; límites: 1 a 2

2. Partes en 1/2 ∫₁² ln t dt: u = ln t, dv = dt

   Cálculo: 1/2 [t ln t − t]₁² = 1/2 [(2 ln 2 − 2) − (0 − 1)] = 1/2 (2 ln 2 − 1)

   Resultado: ln 2 − 1/2

Funciones racionales

∫₀² (x³ + 2x² + 3x + 1) / (x + 1) dx

1. División: (x³ + 2x² + 3x + 1)/(x + 1) = x² + x + 2 − 1/(x + 1)

2. Integración: [x³/3 + x²/2 + 2x − ln|x + 1|]₀²

   Cálculo: (8/3 + 2 + 4 − ln 3) − 0 = 20/3 − ln 3

   Resultado: 20/3 − ln 3

∫₀¹ (2x³ + 3x² + x + 5) / (x² + 1) dx

División: 2x + 3 + (−x + 2)/(x² + 1)

Integración: [x² + 3x − 1/2 ln(x² + 1) + 2 arctan x]₀¹

Cálculo: (1 + 3 − 1/2 ln 2 + 2·π/4) − 0

Resultado: 4 − 1/2 ln 2 + π/2

∫₂³ 1 / (x² − 1) dx

Descomposición en fracciones parciales: 1/2 · 1/(x − 1) − 1/2 · 1/(x + 1)

Integración: 1/2 [ln|x − 1| − ln|x + 1|]₂³ = 1/2 [ln|(x − 1)/(x + 1)|]₂³

Cálculo: 1/2 [ln(2/4) − ln(1/3)] = 1/2 ln(3/2)

Resultado: 1/2 ln(3/2)