Ejercicios Resueltos de Estadística: Medidas de Tendencia Central y Dispersión
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PROBLEMA 1: Procedimiento Resumido
Datos brutos: 8, 7, 9, 6, 8, 10, 7, 8, 9, 6 | n = 10
1. Identificación de conceptos
- Población: Todos los estudiantes que tomaron el examen de Estadística.
- Muestra: Los 10 estudiantes registrados.
- Variable: Calificación del examen.
- Tipo de variable: Cuantitativa discreta.
2. Tabla de frecuencias
Datos ordenados: 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10
| Calificación (xᵢ) | Frecuencia (fᵢ) | Frecuencia acumulada (Fᵢ) |
|---|---|---|
| 6 | 2 | 2 |
| 7 | 2 | 4 |
| 8 | 3 | 7 |
| 9 | 2 | 9 |
| 10 | 1 | 10 |
3. Medidas de tendencia central
- Media: x̄ = (6·2 + 7·2 + 8·3 + 9·2 + 10·1) / 10 = 80 / 10 = 8
- Mediana: Posiciones 5 y 6 → Md = (8 + 8) / 2 = 8
- Moda: Valor con más frecuencia → Mo = 8
4. Cuartiles
- Q₁: Posición (10+1)/4 = 2.75 → 6 + 0.75(7-6) = 7
- Q₃: Posición 3(10+1)/4 = 8.25 → 9 + 0.25(9-9) = 9
5. Medidas de dispersión
- Rango: R = 10 - 6 = 4
- Varianza simplificada: s² = (Σxᵢ² / n) - x̄² = (624 / 10) - 8² = 62.4 - 64 = 1.2
- Desviación estándar: s = √1.2 ≈ 1.095
6. Representaciones gráficas
- Histograma: Barras de alturas 2, 2, 3, 2, 1 para calificaciones 6-10.
- Polígono de frecuencias: Conecta puntos (6,2), (7,2), (8,3), (9,2), (10,1).
- Ojiva: Conecta puntos (6,2), (7,4), (8,7), (9,9), (10,10).
PROBLEMA 2: Resultados y Cálculos
Identificación de conceptos
- Población: Los 40 estudiantes evaluados.
- Muestra: Los 40 estudiantes medidos.
- Variable: Estatura (en centímetros).
- Tipo de variable: Cuantitativa continua.
Tabla de frecuencias completa
Marca de clase (xᵢ): xᵢ = (Límite inferior + Límite superior) / 2
| Intervalo | fᵢ (Frecuencia) | xᵢ (Marca de clase) | fᵢ·xᵢ (Producto) | Fᵢ (Frecuencia acumulada) |
|---|---|---|---|---|
| 150-154 | 4 | 152 | 608 | 4 |
| 155-159 | 6 | 157 | 942 | 10 |
| 160-164 | 10 | 162 | 1620 | 20 |
| 165-169 | 12 | 167 | 2004 | 32 |
| 170-174 | 8 | 172 | 1376 | 40 |
Sumas: Σfᵢ = 40
Medidas de tendencia central
Media
Fórmula: x̄ = Σ(fᵢ·xᵢ) / N
Cálculo: x̄ = 6550 / 40 = 163.75 cm
Mediana
Paso 1: N/2 = 40/2 = 20 (clase mediana: 160-164)
Fórmula: Md = L + [(N/2 - F_anterior) / f] · c
Cálculo: Md = 159.5 + [(20 - 10) / 10] · 5 = 159.5 + 5 = 164.5 cm
Moda
Clase modal: 165-169 (mayor frecuencia: 12)
Fórmula: Mo = L + [d₁ / (d₁ + d₂)] · c
Cálculo: Mo = 164.5 + [2 / (2 + 4)] · 5 = 164.5 + 1.67 ≈ 166.17 cm
Medida de dispersión (Rango)
Fórmula: R = Valor máximo - Valor mínimo
Cálculo: R = 174 - 150 = 24 cm
Resultados finales
- Media: 163.75 cm
- Mediana: 164.5 cm
- Moda: ≈ 166.17 cm
- Rango: 24 cm