Fundamentos de Mecánica de Fluidos: Hipótesis, Cinemática y Dinámica de Medios Continuos

Hipótesis del Medio Continuo

La hipótesis del medio continuo justifica si la medida de una magnitud fluida puede considerarse local (es decir, que no se ve afectada por una reducción del volumen de medida) en un volumen suficientemente grande que contenga un elevado número de moléculas. Con esta hipótesis, pueden definirse propiedades fluidas que sean funciones continuas en todo el campo fluido. De no ser así, los cálculos en mecánica de fluidos resultarían muy complejos y no se podría trabajar.

Hipótesis de Equilibrio Termodinámico Local

Se supone que el fluido se encuentra en equilibrio termodinámico; su estado puede definirse por las variables de estado y la velocidad. Tanto en gases como en líquidos, puede suponerse el equilibrio excepto en casos concretos. De no ser así, no se podrían aplicar las relaciones termodinámicas, complicando alcanzar soluciones en mecánica de fluidos.

Cinemática del Fluido: Aceleración de la Partícula

Punto de Vista de Euler

La aceleración de la partícula se define como:
a = dv/dt = ∂v/∂t + (u · ∇)v
Donde:

• a es la aceleración del fluido.
• dv/dt es la derivada total de la velocidad.
• ∂v/∂t es la derivada parcial respecto al tiempo de la velocidad (derivada local).
• (u · ∇)v representa la velocidad por el tensor de velocidad (término convectivo).

Esta expresión corresponde al punto de vista de Euler, donde la velocidad es una magnitud fluida primero, y la posición y el tiempo son variables independientes. En la analogía con un río, se estudiaría la velocidad del agua en un punto fijo del río.

Punto de Vista Lagrangiano

a(x₀, t) = d(v(x₀, t))/dt
En esta expresión, a es la aceleración del fluido que es igual a la velocidad que depende de la posición inicial y el tiempo. Esta formulación pertenece al punto de vista lagrangiano, donde se estudia la velocidad de una partícula fluida en función de su posición inicial y el tiempo. En la analogía del río, se iría acompañando a la partícula fluida a lo largo de su trayectoria.

Estudio del Movimiento: Parte Simétrica y Antisimétrica

El estudio del movimiento del fluido en el entorno de un punto y, en particular, de la deformación de un pequeño volumen de fluido, tiene interés para el cálculo de los esfuerzos de superficie y para relacionar esfuerzos con deformaciones. El tensor de velocidad representa el gradiente de la velocidad en las tres componentes espaciales y puede dividirse en:

• Parte simétrica: Es la velocidad de deformación que modifica la posición relativa de las moléculas entre sí y se relaciona con los esfuerzos sobre la partícula fluida. Los elementos de su diagonal principal representan la dilatación cúbica uniforme.
• Parte antisimétrica: Representa el movimiento alrededor de un punto de rotación con velocidad angular ω = 1/2 w = 1/2 (∇ × v).

Función de Corriente y Tensor de Esfuerzos

Función de Corriente

Esta función existe si el flujo es bidimensional y, además, es incompresible o se trata de un movimiento estacionario de un fluido compresible.

Tensor de Esfuerzos

Está formado por 9 componentes, cada uno de los cuales puede interpretarse como la componente de fuerza en la dirección eᵢ por unidad de área cuya normal sea eⱼ.

Fuerzas Actuantes en el Fluido

Las fuerzas másicas son aquellas que actúan a distancia. Existen tres tipos principales:

1. Gravitatorias: Son las más importantes, definidas como fₘ = g.
2. Inerciales: Aparecen al tener un sistema de referencia no inercial que se puede desplazar con una aceleración a₀ o girar con una velocidad angular ω. La expresión es:
   fₘ = -a₀ - (dω/dt × x) - ω × (ω × x) - 2(ω × v).
3. Electromagnéticas: Aparecen cuando el fluido puede cargarse eléctricamente.

Mientras que las fuerzas de superficie se aplican sobre la superficie del volumen fluido, las másicas se producen en todo el volumen.
Aplicación: fₘ₁ = -9,8k = g; fₘ₂ = -a₀ = -(3i - 6k); fₘ = -3i - 3,8k m/s².

Equilibrio en Superficies de Interfaz

Considerando una superficie diferencial de interfaz y estableciendo el equilibrio en la dirección normal (n), se obtiene:
p₁ - p₂ = σ(1/R₁ + 1/R₂)
Donde:

• p₁ y p₂ son las presiones de los medios en contacto.
• R₁ y R₂ son los radios de curvatura de la superficie de contacto.
• σ es la tensión superficial.

Estableciendo el equilibrio en la dirección tangencial, se llega a ∇ₛ σ = 0. Esto indica que la tensión superficial debe ser constante en la superficie de separación. Este fenómeno es fundamental para trabajar con fenómenos como las burbujas.

Ecuación de Conservación de la Masa

La ecuación de la conservación de la masa (o ecuación de continuidad) es:
dρ/dt + ∇ · (ρv) = 0 o bien dρ/dt + ρ(∇ · v) = 0
Donde dρ/dt es la derivada total de la densidad respecto al tiempo, la cual consta de la derivada local y de la derivada convectiva.