Fundamentos de Econometría: MCO, Errores de Especificación, Heterocedasticidad y Autocorrelación

Estimación por Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) y Comparación de Modelos

Propiedades del Estimador MCO

• Muestras finitas: El estimador MCO es el ELIO (Estimador Lineal Insesgado Óptimo o BLUE) y eficiente.
• Propiedades asintóticas: Es asintóticamente insesgado, consistente y eficiente con distribución asintótica normal.
• Estimador de la varianza ($\\sigma^2$): No es un estimador lineal ni es eficiente.

Modelos Anidados y No Anidados

Un modelo A está anidado en un modelo B cuando el modelo A puede obtenerse a partir de B mediante la imposición de restricciones paramétricas.

• Contrastes para modelos anidados:
  • Contraste $F$ de restricciones lineales.
  • Test de Wald (para restricciones lineales o no lineales).
  • Test de Razón de Verosimilitud (LR - Likelihood Ratio).
  • Test de Multiplicadores de Lagrange (LM).
• Contrastes para modelos no anidados:
  • Prueba $F$ para modelos no anidados.
  • Contraste $J$ de Davidson y MacKinnon.

Diagnóstico del Modelo, Errores de Especificación e Información Muestral

Contrastes de Cambio Estructural

Sirven para detectar puntos de ruptura estructural en los parámetros de posición del modelo. Se basan en la obtención de estimaciones recursivas y en el cálculo de residuos recursivos:

• Test de Chow.
• Test CUSUM y CUSUMQ: Basados en la suma acumulada de residuos recursivos y residuos recursivos al cuadrado.

Errores de Especificación

Surgen por el desconocimiento del verdadero modelo generador de datos (errores en la forma funcional, omisión de variables relevantes o inclusión de variables irrelevantes):

• Inclusión de variables irrelevantes: La estimación MCO sigue siendo insesgada, el estimador de $\\sigma^2$ es insesgado y la inferencia estadística es válida; sin embargo, los estimadores pierden eficiencia (aumenta su varianza). Solución: Eliminar las variables no significativas.
• Omisión de variables relevantes: Genera estimadores sesgados e inconsistentes; el estimador de la varianza también resulta sesgado, invalidando los intervalos de confianza y los contrastes de hipótesis.
• Mínimos Cuadrados No Lineales (MCNL): En muestras finitas difícilmente se garantizan propiedades deseables; a nivel asintótico, el estimador es insesgado, consistente y asintóticamente normal.

Detección de Problemas de Especificación

• Para variables irrelevantes: Análisis gráfico, contrastes $t$ de Student y $F$ de significatividad conjunta, y regresión paso a paso hacia atrás (stepwise backward).
• Para variables omitidas o forma funcional: Presencia de $R^2$ bajos, signos incorrectos en los parámetros, pocas variables explicativas, comportamiento anómalo en residuos, contraste RESET de Ramsey y regresión paso a paso hacia adelante (stepwise forward).

Problemas de Información Muestral: Multicolinealidad

Ocurre cuando las variables explicativas ($X$) no son independientes entre sí. Sus causas principales son muestras de tamaño reducido o series temporales que comparten una misma tendencia.

• Multicolinealidad exacta: Sucede cuando el rango de la matriz de regresores es menor que el número de parámetros ($rg(X) < k$). Es imposible estimar por MCO.
• Multicolinealidad aproximada: El estimador sigue siendo ELIO pero deja de ser óptimo en términos prácticos (varianzas muestrales excesivamente grandes, coeficientes con signos erráticos y coeficientes de determinación $R^2$ muy elevados acompañados de tests $t$ no significativos).
• Detección: Coeficiente de correlación simple $|r_{ij}| > 0.8$, determinante de la matriz de correlaciones $|R| \\approx 0$, Factor de Aumento de Varianza mayor a su valor crítico ($FAV > Fe$) o $FIV > 10$ para multicolinealidad grave.

Regresores Estocásticos y Endogeneidad

El supuesto ideal exige regresores no estocásticos (fijos) y ausencia de correlación entre $X$ y la perturbación $u$.

• Consecuencias: Si los regresores son estocásticos y están correlacionados con el término de error, se pierde la linealidad, no es posible determinar la esperanza matemática de $\\beta$ y no se garantizan las propiedades de insesgadez ni de eficiencia de MCO.
• Contraste de Hausman: Evalúa si una variable es exógena o endógena. Si se acepta la hipótesis nula ($H_0$), se concluye la exogeneidad de la variable analizada.

Incumplimiento de Supuestos del Término de Error

No Normalidad de las Perturbaciones

Si las perturbaciones no siguen una distribución normal, el estimador MCO se mantiene como ELIO pero pierde la propiedad de eficiencia global; no se pueden emplear directamente los contrastes $t$ y $F$ ni intervalos de confianza en muestras finitas.

• Causas: Mala especificación del modelo, escasez de datos, presencia de observaciones atípicas (outliers) o distribuciones asimétricas/bimodales.
• Detección: Métodos gráficos, contraste de Jarque-Bera (JB) (donde $H_0$ indica normalidad) y test de Doornik-Hansen.
• Tratamiento: Si la variable endógena es positiva, aplicar transformación logarítmica; en problemas graves de normalidad, usar Desviación Absoluta Mediana (DAM). En muestras de gran tamaño, los estimadores MCO son asintóticamente normales, validando la inferencia.

Matriz de Varianzas y Covarianzas No Escalar

Cuando la matriz de covarianzas de las perturbaciones no es escalar ($Var(u) \\neq \\sigma^2 I$), el estimador MCO sigue siendo lineal e insesgado, pero deja de ser óptimo y eficiente; las pruebas $t$ y $F$ no son válidas y la estimación de $\\sigma^2$ queda sesgada. Solución: Aplicar Mínimos Cuadrados Generalizados Factibles (MCGF), obteniendo un estimador ELIO.

Heterocedasticidad

Se produce cuando la varianza del término de error no es constante: $Var(u_i) \\neq \\sigma^2$.

• Causas: Uso de datos agregados, datos de alta frecuencia, observaciones atípicas o falsa heterocedasticidad provocada por la omisión de variables relevantes.
• Consecuencias: El estimador MCO es lineal, insesgado y consistente, pero ineficiente (no óptimo); el $R^2$ usual pierde validez, el estimador MCO de $\\sigma^2$ está sesgado, la varianza de los estimadores está sesgada y los contrastes $t$ y $F$ resultan inválidos. Por su parte, el estimador de Máxima Verosimilitud de $\\sigma^2$ es consistente.
• Detección:
  • Gráficos de dispersión de residuos.
  • Contraste de Glejser: Regresión auxiliar de residuos absolutos frente a variables auxiliares para contrastar $H_0: \\alpha = 0$.
  • Contraste de Harvey: Regresión auxiliar $\\ln(e_i^2) = \\alpha_0 + \\alpha_1 \\ln(X_{1i}) + \\dots + \\alpha_p \\ln(X_{pi}) + v_i$ con $H_0: \\alpha_1 = \\dots = \\alpha_p = 0$.
  • Contraste de White: Regresión auxiliar de los residuos al cuadrado sobre las variables originales, sus cuadrados y productos cruzados; estadístico $W = T \\cdot R^2_{aux} \\sim \\chi^2(p-1)$ bajo $H_0$: homocedasticidad.
  • Contraste de Goldfeld-Quandt y Breusch-Pagan (BP): Compara submuestras o evalúa la regresión auxiliar de los residuos escalados; si el estadístico supera el valor crítico $\\chi^2(p)$, se rechaza la hipótesis nula de homocedasticidad.
• Soluciones: Modificar la forma funcional o aplicar transformaciones logarítmicas. Si no se conocen las causas, recurrir a la estimación de varianzas robustas (White); si se conoce la estructura de la varianza, emplear Mínimos Cuadrados Ponderados (MCP).

Autocorrelación

Aparece habitualmente en modelos con datos de series temporales, donde los errores correspondientes a distintos periodos temporales están correlacionados.

• Causas: Inclusión innecesaria de retardos de la variable endógena, omisión de variables relevantes, forma funcional errónea, manipulación de datos o la propia naturaleza inercial de las series temporales.
• Consecuencias: MCO continúa siendo lineal e insesgado, pero deja de ser óptimo y eficiente; los errores estándar están sesgados, invalidando contrastes de significatividad.
• Detección: Gráficos de dispersión de residuos frente a sus retardos, estadístico Durbin-Watson (DW) y contraste LM de Breusch-Godfrey.
• Soluciones: Reespecificar el modelo incluyendo retardos o variables omitidas, transformar el modelo original (como métodos autorregresivos) o aplicar estimación con matrices robustas (Newey-West).