Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales: Ejercicios Resueltos

Problema de aplicación: Transporte de vehículos

Un barco transporta 400 vehículos (coches, camiones y motos). Por cada 2 motos hay 5 camiones. Los coches representan las 9/7 partes de los otros vehículos. ¿Cuántos vehículos de cada tipo transporta el barco?

Definición de variables

• x: número de coches
• y: número de camiones
• z: número de motos

Planteamiento del sistema

El sistema resultante es:

• x + y + z = 400
• 2y - 5z = 0
• 7x - 9y - 9z = 0

Resolución mediante el método de Gauss

Tras aplicar las operaciones elementales por filas, obtenemos:

• z = 50
• y = 125
• x = 225

Solución: El barco transporta 225 coches, 125 camiones y 50 motos.

Discusión de sistemas de ecuaciones en función de un parámetro k

Analizamos el siguiente sistema:

• 4x + 2y = k
• x + y - z = 2
• kx + y + z = 1

Caso k = 3

Al sustituir k=3, el sistema resulta ser compatible indeterminado. Las soluciones se expresan en función de un parámetro A:

• x = 3/4 - A
• y = 2A
• z = -5/4 + A

Caso k ≠ 3

El sistema es compatible determinado. La solución única es:

• x = -1
• y = 2 + k/2
• z = -1 + k/2

Discusión de sistemas con parámetro a

Analizamos el sistema:

• ax + y - 2az = 1
• ax - y = 2
• ax + y + (a - 1)z = 3a - 1

Análisis de casos

• Caso 1: a = 1/3. Al sustituir, obtenemos 0 = 1, por lo tanto, el sistema es incompatible.
• Caso 2: a ≠ 1/3. El sistema es compatible determinado.