Fórmulas de Estadística Inferencial: Contraste de Hipótesis, Intervalos de Confianza y Tamaño Muestral

Fórmulas y conceptos clave de estadística

Distribuciones y estadísticos básicos

Calcular siempre DP, E, ± valor de tablas y desviación.

6² de 2 poblaciones con μ = 6² a partir de 2.

S² = [(n_x - 1)·S²_x + (n_y - 1)·S²_y] / (n_x + n_y - 2)

Si ↑ gl, X_i tiende a N. Si t > dispersión, que N.

X̄ media = gl mediana < gl, N tipificada. Media = mediana = moda = 0.

Test de independencia: estadístico X².

Poisson y binomial → proporción reproductiva.

Asociación y sesgo

Asociación: + = + a −, − = − a +.

• Poisson: asociación positiva a mayor λ, mes asociación positiva; menor, asociación negativa.
• Chi-cuadrado: asociación positiva a mayor gl; menor, asociación negativa.
• Fisher: asociación positiva a mayor gl; menor, asociación negativa.
• Dicotómica y binomial: p < 0,5 → asociación positiva; p = 0,5 → simétrica; p > 0,5 → asociación negativa.

Estadísticos: Z = N(0,1); t_n-1; X²_n-1; F_{nx-1, ny-1}.

Diferencia de varianza muestral: (S²_x / σ²_x) / (S²_y / σ²_y).

Sesgo positivo → sobreestimación; sesgo negativo → infraestimación. E(θ̂) < 0 → Sesgo(θ̂) < 0.

Sesgo del estimador: Sesgo(θ̂) = E(θ̂) − θ. Error de estimación: θ̂ − θ.

ECM = Var(θ̂) + Sesgo² = E[(θ̂ − θ)²] = E(error²).

Sesgo al cuadrado: (E(θ̂) − θ)². Varianza del estimador: E[(θ̂ − E(θ̂))²].

Método de los momentos

Momento poblacional: α_r = E(X^r). Momento muestral: a_r = Σx^r / n.

Probabilidades de la media muestral

P(la x̄ no se separe 1 de y) = P(|x̄ − y| ≤ 1) = Prob − (1 − Prob).

P(x̄ se separe 1 o más de y) = P(|x̄ − y| ≥ 1) = Prob_T3; (+,+) o (−,−) si hay diferencia.

Intervalos de confianza

• IC media, σ conocida: x̄ ± Z_α/2·σ/√n
• IC media, σ desconocida: x̄ ± t_{(n-1); α/2}·S/√n
• IC proporción: p̂ ± Z_α/2·√(p̂q̂/n)
• IC varianza: [(n-1)S² / χ²_{n-1; α/2}, (n-1)S² / χ²_{n-1; 1-α/2}]
• IC diferencia de medias, σ conocida: (x̄ − ȳ) ± Z_α/2·√(σ²_x/n_x + σ²_y/n_y)
• IC diferencia de medias, σ desconocida: (x̄ − ȳ) ± t_{n-2; α/2}·S_p·√(1/n_x + 1/n_y), donde S_p = √[((n_x-1)S²_x + (n_y-1)S²_y) / (n_x + n_y - 2)]
• IC diferencia de proporciones: Z_α/2
• IC cociente de varianzas: (S²_x/S²_y) / F_{nx-1, ny-1; α/2} o F_{nx-1, ny-1; 1-α/2}

Tamaño muestral

• Para medias: n = Z_α/2²·σ² / d² = (Z_α/2·σ / d)²
• Para proporciones: n = Z_α/2²·p·q / d²; si no se conoce p, se usa p = 0,5.

Contraste de hipótesis

Si el estadístico de contraste (EC) supera el valor crítico (valor que deja 1 − α en tablas), se rechaza H₀.

Si p-valor > α (nivel de significación), no se rechaza H₀. Nota: α + β ≠ 1.

• Al aumentar n, disminuyen los errores tipo I y II.
• Al aumentar α, disminuye β.
• Al aumentar la potencia, disminuye β.
• Contraste bilateral: p-valor = 2·P(prob).
• Contraste unilateral: p-valor = P(prob).

Error tipo I: α = P(rechazar H₀ | H₀ verdadera) = 1 − P.

Error tipo II: β = P(no rechazar H₀ | H₁ verdadera) = 1 − P.

ANOVA

Estadístico F con (k − 1; n − k) grados de libertad. Distribución de la variabilidad explicada: (k − 1)·S²_VE / σ² ~ χ².

Si se rechaza H₀ → no todas las medias son iguales → diferencia significativa.