Ejercicios Resueltos de Semejanza de Figuras y Teorema de Tales

Ejercicios de Semejanza y Proporcionalidad Geométrica

Fundamentos de Figuras Semejantes

Ejercicio 9: Razona si son semejantes estas figuras:

• a. Dos cuadrados.
• b. Tres triángulos equiláteros.
• c. Dos rectángulos.

Ejercicio 10: Dada la figura:

• a. ¿Son semejantes el triángulo interior y el exterior?
• b. ¿Cuántas unidades medirán los catetos de un triángulo semejante al menor cuya razón de semejanza sea 2.5?

Cálculos:
3 x 2.5 = 7.5
4 x 2.5 = 10

Ejercicio 11: Determina las longitudes que faltan:

• 4 / 2 = 2
• 3 / 2 = 1.5
• 2.8 / 2 = 1.4

Aplicaciones del Teorema de Tales

Ejercicio 12: En la figura, el segmento DE es paralelo a AB. Justifica que los triángulos ABC y CDE son semejantes y calcula DE y EC.

Resolución:
3 + 6 = 9
DE = (5 x 6) / 9 = 3.33
2 + EC = 1.5 x EC => 0.5 x EC = 2 => EC = 4

Ejercicio 13: ¿Por qué son semejantes los triángulos ABC y AED? Halla el perímetro del trapecio EBCD.

Resolución:
3 + 4.5 = 7.5
k (razón) = 7.5 / 3 = 2.5
AC = 2.5 x 2.5 = 6.25
DC = 6.25 - 2.5 = 3.75
BC = 2 x 2.5 = 5
Perímetro = 4.5 + 5 + 3.75 + 2 = 15.25

Ejercicio 14: Dos triángulos ABC y A'B'C' son semejantes con razón de semejanza 1/3. Los lados del triángulo ABC son a = 7 cm, b = 10 cm, c = 6 cm. Halla las longitudes de los lados del triángulo A'B'C'.

• a' = 7 x (1/3) = 2.33 cm
• b' = 10 x (1/3) = 3.33 cm
• c' = 6 x (1/3) = 2 cm

Cálculo de Segmentos y Proporciones

Ejercicio 15: Observa esta figura en la que el segmento AB es paralelo a CD.

• a. Di por qué son semejantes los triángulos OAB y ODC.
• b. Calcula x e y.

Cálculos:
x = (6 x 4.8) / 8 = 3.6
y = (8 x 4.2) / 6 = 5.6

Ejercicio 16: Si BD es paralelo a AE, y AC = 15 cm, CE = 11 cm y BC = 6.4 cm:

• a. Calcula CD.
• b. ¿Podemos saber cuánto vale AE sin medir directamente?

Cálculo:
CD = (11 x 6.4) / 15 = 4.69 cm

Ejercicio 17: Dado el pentágono de la figura, calcula el perímetro de otro de menor tamaño si la razón de semejanza es 4/5.

Perímetro nuevo = Perímetro original x 0.8

Ejercicio 18: Los lados de un rectángulo miden 3.4 cm y 5.6 cm y los de otro miden 23/5 cm y 92/25 cm. ¿Son semejantes?

Comprobación:
23 / 5 = 4.6
92 / 25 = 3.68
5.6 / 4.6 = 1.217
3.4 / 3.68 = 0.924
Como 1.217 no es igual a 0.924, no son semejantes.

Ejercicio 19: El rectángulo áureo... calcula la proporción entre sus longitudes.

Phi (Φ) = (1 + √5) / 2 ≈ 1.618

Problemas Métricos y de Altura

Ejercicio 20: ¿Cuál es la longitud del lado de la prensa?

Ejercicio 21: Calcula la altura de la torre del castillo...

Altura = (1.5 x 16) / 2 = 12

Ejercicio 22: Los lados del triángulo ABC miden AB = 21 cm, AC = 20 cm y BC = 28 cm. Halla los lados y el perímetro del trapecio ADEC.

Razón: k = (21 - x) / 21

Ejercicio 23: Aplica el Teorema de Tales para encontrar las variables:

• x = (4 x 3) / 2 = 6
• y = (3 x 2.5) / 2 = 3.75

Criterios de Semejanza y Casos Prácticos

Ejercicio 24: Determina si las siguientes parejas de triángulos son semejantes:

• a. Sí (Ángulos: 60° y 40°).
• b. Sí (3/6 = 4/8 = 5/10 = 0.5).

Ejercicio 25: Determina el valor de x:

x² = 3 x 12 = 36 => x = √36 = 6

Ejercicio 26: Calcula la anchura del río:

Anchura = (15 x 20) / 10 = 30

Ejercicio 27: ¿Cuál es la profundidad de la zona de agua...?

Profundidad = (3 x 1.2) / 1.5 = 2.4

Ejercicio 28: Según las medidas indicadas, ¿cuánto mide la casa?

Conversión y cálculo:
165 cm = 1.65 m
3.5 - 1.65 = 1.85
25 + 1.5 = 26.5
H' = (1.85 x 26.5) / 1.5 = 32.67
Altura total = 32.67 + 1.65 = 34.32 m

Ejercicio 29: ¿Cuánto mide la estatua?

Cálculo:
2.1 - 1.6 = 0.5
0.9 + 4.6 = 5.5
h' = (5.5 x 0.5) / 0.9 = 3.06
Altura total = 3.06 + 1.6 = 4.66 m

Ejercicio 30: Una piscina tiene 2.3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1.74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene la piscina?

Cálculo:
116 cm = 1.16 m
Profundidad = (1.74 x 2.3) / 1.16 = 3.45 m

Ejercicio 31: Entre dos pueblos A y B hay una colina. Para medir la distancia AB fijamos un punto P desde el que se ven los dos pueblos y tomamos las medidas AP = 15 km, PM = 7.2 km y MN = 12 km (MN es paralela a AB). Halla la distancia AB.

AB = (15 x 12) / 7.2 = 25 km

Ejercicio 32: Dos triángulos ABC y PQR son semejantes. Los lados del primero miden 24 m, 28 m y 34 m. Calcula la medida de los lados del segundo triángulo sabiendo que su perímetro es 129 m.

Resolución:
Perímetro original (P) = 24 + 28 + 34 = 86
Razon de semejanza (k) = 129 / 86 = 1.5
Lado 1 = 24 x 1.5 = 36 m
Lado 2 = 28 x 1.5 = 42 m
Lado 3 = 34 x 1.5 = 51 m

Ejercicio 33: Determina la distancia del chico a la base de la torre.

Cálculo:
d = (16 x 3.3) / 1.76 = 30
Distancia total = 3.3 + 30 = 33.3 m