Ejercicios resueltos de combinaciones y regla de multiplicación

Aplicación de Técnicas de Conteo: Combinaciones y Regla de Multiplicación

Problema 2.26: Adopción de Reglas de Salud (Combinaciones)

Un estudio en California concluyó que al seguir siete sencillas reglas de salud, la vida de un hombre se puede prolongar 11 años en promedio y la vida de una mujer 7 años. Estas 7 reglas son: no fumar, hacer ejercicio, uso moderado del alcohol, dormir siete u ocho horas, mantener el peso adecuado, desayunar y no ingerir alimentos entre comidas.

¿De cuántas formas puede una persona adoptar cinco de estas reglas?

1. ¿Si la persona actualmente infringe las siete reglas?
2. ¿Si la persona nunca bebe y siempre desayuna?

Solución (Teorema 2.8: Combinaciones)

a) Si la persona actualmente infringe las siete reglas

Se deben elegir 5 reglas de un total de 7 disponibles. Utilizamos la fórmula de combinaciones $C(n, k) = \binom{n}{k}$.

$$ \binom{7}{5} = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 $$

Existen 21 formas de adoptar cinco de esas reglas.

b) Si la persona nunca bebe y siempre desayuna

Dos reglas ya están adoptadas (uso moderado del alcohol y desayunar). La persona debe elegir $5 - 2 = 3$ reglas adicionales de las $7 - 2 = 5$ reglas restantes.

$$ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 $$

Existen 10 formas de adoptar las reglas bajo estas condiciones.

Problema 2.27: Planes de Vivienda (Regla de Multiplicación)

Un urbanista de un nuevo desarrollo habitacional ofrece a un futuro comprador de una casa la elección de 4 diseños, 3 sistemas de calefacción diferentes, un garaje o cobertizo (2 opciones), y un patio o un porche cubierto (2 opciones). ¿De cuántos planes diferentes dispone el comprador?

Solución (Teorema 2.2: Regla de Multiplicación Generalizada)

Usando la regla de multiplicación generalizada, el número total de planes es el producto del número de opciones en cada categoría:

$$ n_1 \times n_2 \times n_3 \times n_4 = (4) \times (3) \times (2) \times (2) = 48 $$

El comprador dispone de 48 planes de vivienda diferentes.

Problema 2.28: Prescripción de Medicamentos (Regla de Multiplicación)

Un medicamento contra el asma se puede adquirir de 5 laboratorios diferentes en forma de líquido, comprimidos o cápsulas (3 preparaciones), todas en concentración normal o alta (2 concentraciones). ¿De cuántas formas diferentes un doctor puede recetar la medicina a un paciente que sufre de asma?

Solución (Teorema 2.2: Regla de Multiplicación Generalizada)

Con $n_1 = 5$ fabricantes diferentes, $n_2 = 3$ preparaciones diferentes, y $n_3 = 2$ concentraciones diferentes, la regla de multiplicación produce:

$$ n_1 n_2 n_3 = (5) \times (3) \times (2) = 30 $$

El doctor puede recetar el medicamento de 30 maneras diferentes.

Problema 2.29: Estudio Económico de Combustibles (Regla de Multiplicación)

En un estudio económico de combustibles, cada uno de 3 autos de carreras se prueba con 5 marcas diferentes de gasolina en 7 lugares de prueba ubicados en diferentes regiones del país. Si se utilizan 2 pilotos en el estudio y las pruebas se realizan una vez bajo cada uno de los distintos grupos de condiciones, ¿cuántas pruebas se necesitan?

Solución (Teorema 2.2: Regla de Multiplicación Generalizada)

Con $n_1 = 3$ autos de carreras, $n_2 = 5$ marcas de gasolina, $n_3 = 7$ sitios de prueba, y $n_4 = 2$ conductores, la regla de multiplicación produce:

$$ (3) \times (5) \times (7) \times (2) = 210 $$

Se necesitan 210 pruebas.

Problema 2.30: Prueba de Falso o Verdadero (Regla de Multiplicación)

¿De cuántas formas distintas se puede responder una prueba de falso o verdadero que consta de 9 preguntas?

Solución (Teorema 2.2: Regla de Multiplicación Generalizada)

Para cada pregunta hay $n_i = 2$ opciones (Falso o Verdadero). Dado que hay 9 preguntas independientes, aplicamos la regla de multiplicación:

$$ n_1 n_2 \cdots n_9 = 2^9 = 512 $$

La prueba se puede responder de 512 formas distintas.