Chuletas y apuntes de Matemáticas de Secundaria

Teorema de Rolle

Teorema 55 (Rolle) Sea f : [a, b] → R una función continua en [a, b], diferenciable en (a, b) y tal que f(a) = f(b). Entonces existe, al menos, un punto c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 0 (ver Figura 68). Estos valores c se llaman puntos críticos de f.

Demostración: Si f es continua en [a, b], el Teorema 45 (de Weierstrass) garantiza que existen puntos e, d ∈ [a, b] donde f alcanza su máximo y su mínimo, respectivamente.

• Si e es punto interior de [a, b], existe un δ > 0 tal que (e − δ, e + δ) ⊂ (a, b). Entonces, para valores de h tales que |h| < δ, f(e + h) está bien definido y f(e + h)−f(e) ≤ 0 (pues f(e) es máximo). En este caso, notar que estos límites existen pues f es diferenciable. Como f'(e) ≥

Fundamentos de la Conglomeración Estadística: Conceptos y Métodos Clave

La conglomeración, o clustering, es una técnica fundamental en la estadística multivariante y el aprendizaje no supervisado. A continuación, se presenta un glosario detallado de los términos esenciales utilizados en los procedimientos de agrupación de entidades.

I. Elementos Centrales y Representación Gráfica

Centroide

Valores medios de las entidades de un conglomerado en cada una de las variables utilizadas.

Semilla de Conglomerados

Centros iniciales o puntos de partida para los conglomerados. Son valores individuales seleccionados para iniciar los procedimientos no jerárquicos.

Dendrograma

Representación gráfica de los resultados de un procedimiento jerárquico... Continuar leyendo "Vocabulario Esencial de la Conglomeración Estadística: Métodos, Distancias y Representaciones" »

Ejercicios Resueltos de Cálculo Multivariable y Optimización

Ejercicio 1: Conjuntos, Continuidad y Optimización con Teorema de Weierstrass

A) Dibuja el conjunto S = {(x, y) ∈ ℝ² / y ≤ 4 + 2x, y ≥ x² – 4, xy ≥ 0} y determina, justificando las respuestas, si es cerrado, acotado, compacto y/o convexo.

El conjunto S es cerrado. S está acotado, ya que S ⊂ B((0, 0), 13). S es compacto, ya que es cerrado y acotado. S no es convexo. Efectivamente, sean (–1, 0) ∈ S y (0, 1) ∈ S. Probaremos que el segmento L[(–1, 0), (0, 1)] ⊄ S, ya que, por ejemplo, el punto medio del segmento (–1/2, 1/2) ∉ S, pues (–1/2)·(1/2) = –1/4 < 0.

B) Si f(x, y) = x + y, justifica, usando el teorema de Weierstrass, si el problema de maximización

Sucesiones de Números Reales

Definiciones

Definición: Una sucesión en R es una aplicación x : N → R.

Definición: Una subsucesión de {x_n}_n∈N viene dada por una sucesión n₁ n₂ n_k x_nk}_k∈N.

Límite de una Sucesión de Números Reales

Definición: Sea {x_n}_n∈N una sucesión de números reales.

• x_n → l o lím x_n = l si ∀ ε > 0 ∃ n₀ ∈ N tal que n > n₀ ⇒ |x_n − l| x_n}_n∈N es convergente y converge a l.

Ejemplo: x_n = 1/n.

Definición: Sea {x_n}_n∈N una sucesión de números reales.

• lím x_n = +∞ (sucesión divergente a +∞) si ∀ k > 0 ∃ n₀ ∈ N tal que n > n₀ ⇒ x_n > k.
• lím x_n = −∞ (sucesión divergente a −∞) si ∀ k > 0 ∃ n₀ ∈ N tal que n > n₀ ⇒ x_n k.

En ese caso, se dice que la sucesión... Continuar leyendo "Sucesiones de Números Reales: Conceptos y Propiedades" »

Características y Propiedades de las Funciones Matemáticas

A continuación, se detallan las propiedades fundamentales para estudiar y representar una función matemática.

1. Dominio

Conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida.

2. Recorrido o Imagen

Conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y).

3. Continuidad y Puntos de Discontinuidad

Una función es continua en su dominio si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Si presenta saltos o interrupciones, es discontinua. Los valores donde se rompe la gráfica se denominan puntos de discontinuidad (por ejemplo, en x=a).

4. Simetría

Una función puede presentar dos tipos de simetría:

• Par: Si f(x) = f(-x), la función es simétrica respecto al eje

Correlación:

relación q existe Entre 2 variables. El grado de correlación indica en q medida existe un patrón Claro de alguna relación en particular entre 2 variables. Tipo de Correlaciones: a) Positiva b) negativa c) sin relación.

¿Cómo se miden relaciones? La covarianza:

grado en el que 2 variables cambian a la vez.

La covarianza entre 2 variables, Sxy, nos indica si la posible relación entre 2 Variables es directa o inversa: Directa: Sxy >0 Inversa: Sxy<0 Incorreladas: Sxy =0 . El signo de la covarianza nos dice si el Aspecto de la nube de puntos es creciente o no, pero no nos dice nada sobre el Grado de relación entre las variables. Necesitamos estandarizar la covarianza Para poder comparar entre estudios y para poder saber... Continuar leyendo "Medición de Relaciones Estadísticas: Correlación y Regresión Lineal" »

Diseño de Investigación y Comparación de Medias

Diseño independiente: La variable dependiente (VD) solo se mide una vez en cada sujeto. Comparamos la media de dos grupos formados por personas diferentes. Diseño dependiente: La VD se mide dos (o más) veces en cada sujeto. Comparamos la media de algo que se ha medido dos veces en los mismos sujetos.

Visualización de Diferencias entre Medias

1º Paso: Analizar gráficos de barras o gráficos de líneas:

• Permiten ver la diferencia de medias.
• Conviene añadir las barras de error.
• Si las barras no se tocan, probablemente las diferencias serán significativas.

El T-Test

Aplicar un test estadístico: El T-Test:

• T-test para muestras independientes: Diseño Independiente.
• T-test para muestras dependientes:

Fundamentos de Álgebra

Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es una expresión matemática en la que intervienen letras, números y signos de las operaciones aritméticas. Las letras reciben el nombre de variables o incógnitas y representan números o cantidades desconocidas.

Valor Numérico de una Expresión Algebraica

Es el número que resulta al sustituir las variables con unos valores determinados y resolver las operaciones indicadas.

Monomios y Polinomios

Monomios

Un monomio es una expresión algebraica de la forma $ax^n$, donde:

• $a$ es el coeficiente.
• $x$ es la variable.
• $n$ es el exponente (un número natural).

A $x^n$ se le llama parte literal.

Grado y Semejanza de Monomios

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de todas... Continuar leyendo "Definiciones Clave de Álgebra, Ecuaciones de Segundo Grado y Conceptos de Funciones" »

Fundamentos y Propiedades de la Potenciación

La potenciación es una operación matemática que consiste en multiplicar un número (la base) por sí mismo varias veces (indicadas por el exponente). A continuación, se detallan las reglas esenciales de los exponentes.

Reglas Básicas de Exponentes

• Exponente Uno

  Todo número elevado a la potencia de uno es igual a sí mismo. Ejemplo: $5^1 = 5$.

• Exponente Cero

  Todo número (distinto de cero) elevado a la potencia de cero es igual a uno. Ejemplo: $X^0 = 1$.

Operaciones con Potencias de Igual Base

Multiplicación de Potencias con la Misma Base

El producto de potencias con la misma base es igual a otra potencia con la misma base, elevada a la suma de los exponentes.

$$2^4 \cdot 2^2 \cdot 2^4 = 2^{(4+2+4)}... Continuar leyendo "Fundamentos de Potenciación y Proporcionalidad Inversa en Matemáticas" »

Teorema de Rouché-Frobenius

El sistema se clasifica según el rango de la matriz de coeficientes rg(A) y la matriz ampliada rg(A|b):

• SCD (Sistema Compatible Determinado): rg(A) = rg(A|b) = n. Existe una única solución.
• SCI (Sistema Compatible Indeterminado): rg(A) = rg(A|b) < n. Existen infinitas soluciones.
• SI (Sistema Incompatible): rg(A) ≠ rg(A|b). No existe solución.

Extremos Relativos

Para hallar los extremos relativos de una función, se igualan las derivadas parciales a cero. Posteriormente, se utiliza la Matriz Hessiana:

• D1 > 0; D2 > 0: Mínimo relativo.
• D1 < 0; D2 > 0: Máximo relativo.
• D1 < 0; D2 < 0: Punto de silla (Indefinida).
• D1 > 0; D2 < 0: Punto de silla (Indefinida).

Cálculo Integral

Ejemplo 1: Descomposición