Fundamentos de Álgebra Lineal y Cálculo Integral: Métodos y Aplicaciones

Teorema de Rouché-Frobenius

El sistema se clasifica según el rango de la matriz de coeficientes rg(A) y la matriz ampliada rg(A|b):

• SCD (Sistema Compatible Determinado): rg(A) = rg(A|b) = n. Existe una única solución.
• SCI (Sistema Compatible Indeterminado): rg(A) = rg(A|b) < n. Existen infinitas soluciones.
• SI (Sistema Incompatible): rg(A) ≠ rg(A|b). No existe solución.

Extremos Relativos

Para hallar los extremos relativos de una función, se igualan las derivadas parciales a cero. Posteriormente, se utiliza la Matriz Hessiana:

• D1 > 0; D2 > 0: Mínimo relativo.
• D1 < 0; D2 > 0: Máximo relativo.
• D1 < 0; D2 < 0: Punto de silla (Indefinida).
• D1 > 0; D2 < 0: Punto de silla (Indefinida).

Cálculo Integral

Ejemplo 1: Descomposición en fracciones simples

(Ruffini) = dx; = + + ; x – 1 = A(x-2)² + B(x+1)(x-2) + C(x+1)

Resolviendo para los valores críticos:

• x = -1: -2 = 9A → A = -2/9
• x = 2: 1 = 3C → C = 1/3
• x = -2: -3 = 16A + 4B - C → B = 2/9

dx + dx + dx = -2/9 ln|x+1| + 2/9 ln|x-2| + 1/3 = -2/9 ln|x+1| + 2/9 ln|x-2| + + C

Ejemplo 2: División de polinomios

= dx; = +

-9x - 10 = A(x+2) + B(x+4)

• x = -4: -26 = 2A → A = -13
• x = -2: 8 = 2B → B = 4

+ dx = 2x - 13 ln|x+4| + 4 ln|x+2| + C

Extremos Condicionados

Se utiliza el método de los Multiplicadores de Lagrange: L(x, y, z, λ1, λ2) = f(x,y,z) - λ1(g1) - λ2(g2).

1. Paso 1: Calcular derivadas parciales (fx, fy, fz) e igualar a cero para hallar los puntos críticos.
2. Paso 2: Evaluar la Matriz Hessiana orlada.
3. Paso 3: Aplicar el Jacobiano de las restricciones para determinar la naturaleza de los puntos.

Interpretación: Z = Zop + 1 * precio.

Método Simplex

Se aplica en la forma canónica donde todos los términos son positivos. Para maximización se usa < y para minimización >.

Área Limitada por Curvas

Dada la curva y = x² - 2x y la recta 3x - 2y - 3 = 0 → y = .

Vértice de la parábola: Xv = -b/2a = 1; Yv = 1² - 2(1) = -1. V(1, -1).

Igualando las funciones: x² - 2x = → 2x² - 7x + 3 = 0. Soluciones: x = 3, x = 1/2.

= = Integral

F(3) = = = = 27/12 = 9/4

F(1/2) = = = = -17/48

Resultado final: F(3) - F(1/2) = 9/4 - (-17/48) = 108/48 + 17/48 = 125/48