Chuletas y apuntes de Matemáticas

Cálculo de Intersección de Carreteras y Altura de Pilar

Datos iniciales: Puntos A, B, C, D; pendiente m1; abscisa del vértice del acuerdo Xv; parámetro de la parábola Kv.

1. Intersección de las rectas AB y CD (Punto I):
   • Se resuelve el sistema de ecuaciones de las rectas para obtener las coordenadas (x, y) de la intersección I.
   • Recta AB: y - ya = (ΔY_ab / ΔX_ab) * (x - xa)
   • Recta CD: y - yc = (ΔY_cd / ΔX_cd) * (x - xc)
2. Distancia AI:
   • Se calcula la distancia euclidiana: D = √(ΔX² + ΔY²)
   • Nota: Se indica que la intersección estará en el acuerdo vertical a la izquierda del vértice V (primera rasante), dado que Xv = 185.
3. Cálculo de la Coordenada Y del Vértice V (Yv):
   • Se utiliza la ecuación de la recta AV, conociendo las coordenadas de A,

Cálculo DE FUNCIONES DE VALOR VECTORIALEN UNA VARIABLE REAL

Definición:

Si S es un subconjunto no vacío de los reales, entonces la función f : S?Rⁿ se llama una función de valor vectorial de una variable real.

TEOREMA 2

Si f es una función de valor vectorial de una variable real, cuya derivada f ^'(t)
existe para todo t en un intervalo abierto I, y si la ||f (t)|| es constante para todo t € I , entonces f (t) y f ^'(t) son ortogonales para todo t € I , es decir.
f (t) . F ^'(t) =0 para todo t perteneciente a I
Ilustración
Sea F=(0,1)?R² representada F(t)=(cos 2ð t , sen 2ð t) t € R
||F(t)|| = ? ( cos 2ðt)
² + (sen 2ð t)
²
=?1 = 1 para todo t € (0,1)
Pero F'(t)=(-2ð sen2ð t, 2ð cos2ð t)
=-2ð (sen2ð t, -cos2ð t)
F(t).F'(t)=(

Definiciones y Tipos de Matrices

Una matriz se define como A_mn. Por ejemplo, a₂₁ indica una matriz de 2 filas (arriba-abajo) y 1 columna (izquierda-derecha).

• Si m = 1, se denomina matriz fila (lo mismo ocurre para una columna si n = 1).
• Si m = n, la matriz es de orden n (matriz cuadrada).
• Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada donde los elementos fuera de la diagonal principal son 0.
• Matriz escalar: Es una matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal son iguales entre sí.
• Matriz idéntica: Es una matriz donde los elementos de la diagonal son todos 1.

Operaciones Básicas con Matrices

Suma y Resta

En la suma, se suma o resta cada número con su pareja correspondiente (esto solo es posible si las matrices son del mismo tamaño).

Multiplicación

Definición: Un juego bipersonal en forma estratégica (I = {1, 2}, X = X1 × X2, π = (π1, π2)) se dice que es estrictamente competitivo cuando cumple:

π1(x, y) > π1(x', y') si y sólo si π2(x, y) < π2(x', y') para todo x, x' ∈ X1, ∀y, y' ∈ X2.

Conceptos básicos

Punto, línea y segmento

1. Punto: Es un término indefinido; no tiene partes ni dimensiones.
2. Línea: No tiene ancho; es una sucesión de puntos.
3. Segmento: Porción de recta limitada por ambos extremos.

Métodos de razonamiento

• Método inductivo: Es aquel proceso en el que se razona partiendo de lo particular para llegar a lo general. Puede cumplirse para muchos casos y luego fallar en el siguiente.
• Método deductivo: Parte de categorías o premisas generales para hacer afirmaciones sobre casos particulares (general → particular). Es una forma de razonamiento donde se infiere una conclusión a partir de una o varias premisas.
  1. Comienza con condiciones dadas (hipótesis).
  2. Se utiliza la lógica, definiciones, postulados o teoremas probados

1) Ecuaciones Lineales

Las ecuaciones lineales son expresiones algebraicas de primer grado con varias incógnitas. Las ecuaciones lineales con dos incógnitas responden a la ecuación general: ax + by = c.

Solución de una ecuación lineal

Es todo par de valores de las incógnitas que verifique la ecuación. Sean x₁, y₁ dos números reales; el par es solución de la ecuación lineal de dos incógnitas anterior si: ax₁ + by₁ = c. Las ecuaciones lineales con dos incógnitas tienen infinitas soluciones.

Representación gráfica

La ecuación ax + by = c tiene como representación gráfica una recta. Cada punto de dicha recta es solución de la ecuación.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema lineal de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas...

1. ¿Cómo se define un lenguaje de primer orden?

El lenguaje de primer orden es un sistema formal diseñado para estudiar **objetos** (o individuos), sus **propiedades**, las **relaciones** entre ellos y **expresiones cuantificadas** que los involucran. Además, con individuos, propiedades, relaciones y cuantificadores, es posible formar enunciados, lo que significa que conserva los recursos de la **lógica proposicional**.

Está formado por los siguientes tipos de símbolos:

• Constantes: (ej., a, b, c, con o sin subíndices).
• Símbolos de propiedades: (ej., P, Q).
• Símbolos lógicos: (¬, →, ∨, ∧, ↔).
• Los dos cuantificadores: **∀** ('para todo') y **∃** ('existe al menos uno').
• El símbolo de igualdad: =.
• Variables: (ej., x, y, z, ...)

1. Domino Jokoaren Probabilitateak

Domino jokoak 28 fitxa ditu. Ausaz fitxa bat atera dugu, eta puntuen arteko batura (x) idatzi dugu.

a) Zein da lagin-espazioa? Kalkulatu eman daitezkeen 13 urratsetako bakoitzaren probabilitatea.

E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

• P[0] = 1/28
• P[1] = 1/28
• P[2] = 2/28
• P[3] = 2/28
• P[4] = 3/28
• P[5] = 3/28
• P[6] = 4/28
• P[7] = 3/28
• P[8] = 3/28
• P[9] = 2/28
• P[10] = 2/28
• P[11] = 1/28
• P[12] = 1/28

b) Deskribatu gertaera hauek:

• A: x zenbaki lehen bat da.
• B: x 4 baino handiagoa da.
• A ∪ B (A edo B)
• A ∩ B (A eta B)
• A' (A-ren aurkakoa)

• A = {2, 3, 5, 7, 11}
• B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
• A ∪ B = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
• A ∩ B = {5, 7, 11}
• A' = {0, 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12}

c) Kalkulatu b) atalean deskribaturiko gertaeren probabilitateak.

Representaciones gráficas y ejemplos de variables cuantitativas continuas

Ejemplos de variables cuantitativas continuas:

Tipos de representaciones gráficas

Cuando se muestran datos estadísticos mediante representaciones gráficas, conviene adaptar el formato al mensaje visual que se desea transmitir. Entre las formas más utilizadas se encuentran las siguientes:

• Diagramas de barras: muestran los valores de las frecuencias absolutas sobre un sistema de ejes cartesianos; se emplean