Chuletas y apuntes de Matemáticas de Otros cursos

Análisis de Elementos Finitos en Estructuras

Fuerzas en los Extremos de una Barra

Las fuerzas F representan el conjunto de todas las fuerzas en los extremos de la barra, sin diferenciar su origen. En una barra sujeta por los dos extremos son las fuerzas que ejerce el resto de la estructura sobre la barra aislada.

F_e = f_{v,t e} + f_r,c + f_r,s

donde:

• f_{v,t e} = fuerzas nodales equivalentes
• f_r,c = fuerzas nodales reactivas de contacto
• f_r,s = fuerzas nodales reactivas en los apoyos

Como es una viga de Timoshenko, la flexión usando funciones de forma es la que gobierna la solución homogénea de las ecuaciones diferenciales (función de forma naturales), es decir, proporcionan los valores exactos de desplazamientos y esfuerzos en los nodos, por tanto, se seleccionarían... Continuar leyendo "Análisis de Elementos Finitos en Estructuras: Tipos, Modelos y Aplicaciones" »

Conceptos Clave en Estadística y Probabilidad

Varianza de la Resta de Variables Aleatorias

Pregunta: ¿Cuál es la varianza de la resta de dos variables aleatorias cualesquiera?

Respuesta: Es la suma de sus varianzas menos dos veces la covarianza entre ellas.

Independencia y Covarianza

Afirmación: Si dos variables son independientes, su covarianza es cero. (Correcta)

Función de Densidad

Propiedad: La función de densidad toma el valor uno si se integra en todo el recorrido de la variable. (Correcta)

Diferencia entre Índices de Laspeyres y Paasche

Pregunta: ¿En qué se diferencia el índice de Laspeyres del de Paasche?

Respuesta: Ambos índices son medias aritméticas (ponderadas), pero el índice de Laspeyres se construye con ponderaciones p_i0q_i0,... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Probabilidad y Estadística: Variables Aleatorias y Axiomas" »

Transformaciones Lineales

Definición y Ejemplos

Una transformación lineal es una función entre espacios vectoriales que respeta la estructura algebraica. Es decir, cumple las siguientes propiedades:

1. Aditividad: T(u + v) = T(u) + T(v) (preserva la suma de vectores).

2. Homogeneidad: T(c·v) = c·T(v) (preserva el producto por escalares).

Ejemplos:

• T(x, y) = (2x, 3y) es una transformación lineal.

• T(x, y) = (x+1, y) no es lineal, porque la suma de la constante "+1" rompe la propiedad de homogeneidad (por ejemplo, T(c·x, c·y) = (c·x+1, c·y) que no es igual a c·T(x, y) = (c·x+c, c·y)).

Se puede pensar en T como una máquina que transforma vectores, estirándolos, rotándolos, proyectándolos, o realizando otras operaciones que mantienen la linealidad.... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal: Transformaciones y Diagonalización" »

Conceptos Fundamentales en Álgebra y Teoría de Números

Álgebra de Boole y Retículos

Teorema de Estructura de las Álgebras de Boole Finitas

Sea (L, ∨, ∧) un álgebra de Boole finita y M el conjunto de todos los átomos de L. Entonces L es isomorfo al álgebra de Boole (P(M), ∪, ∩).

Retículo

Un retículo es una terna (L, ∨, ∧) donde L ≠ ∅ es un conjunto y ∨, ∧ son dos operaciones internas en L verificando las propiedades:

• Asociativas
• Conmutativas
• De Idempotencia
• De Absorción

Teoría de Números y Notación Asintótica

Teorema Chino del Resto

Sean a₁, a₂, ..., aₙ ∈ ℤ y p₁, p₂, ..., pₙ ∈ ℤ tales que (pᵢ, pⱼ) = 1 si i ≠ j. Entonces:

1. Existe a ∈ ℤ tal que a ≡ aᵢ mod pᵢ, para todo i = 1, 2, ..., n.

Conceptos Fundamentales en Econometría e Inferencia Estadística

Introducción a la Econometría

La econometría es la ciencia que permite cuantificar modelos económicos. Su objetivo principal es aplicar métodos estadísticos a datos económicos para dar contenido empírico a las teorías económicas y verificar hipótesis. Por ejemplo, si buscamos analizar el efecto de una variable X sobre una variable Y, la econometría nos permite cuantificar, por ejemplo, el impacto de un aumento de una unidad de X en Y.

Inferencia Estadística y Parámetros Poblacionales

La inferencia estadística nos permite inferir aspectos del parámetro poblacional a partir de una muestra. En particular, en un modelo econométrico, nos interesa analizar si existe evidencia... Continuar leyendo "Econometría y Estadística: Conceptos Clave para Modelos Cuantitativos" »

Métodos Planimétricos en Topografía

1. Métodos Planimétricos Topográficos

Los métodos planimétricos topográficos se utilizan en topografía para determinar la posición horizontal de puntos (coordenadas X e Y), sin considerar la altimetría (coordenada Z). Existen diferentes métodos, cuya elección depende de la exactitud requerida, las condiciones del terreno y el equipo disponible.

Principales Métodos Planimétricos:

• Método de Radiación: Se emplea cuando existe un punto de referencia fijo (estación) desde donde se miden distancias y ángulos a otros puntos. Es ideal para levantamientos en zonas pequeñas y accesibles.
• Método de Intersección: Consiste en ubicar un punto desconocido midiendo ángulos desde dos puntos conocidos. Puede

1. Selectividad

La selectividad es la capacidad de un método analítico para medir e identificar en forma separada o simultánea los analitos de interés en presencia de otras sustancias químicas que pueden o no estar formando parte de la matriz de la muestra.

1a. Procedimiento:

1. Preparar una solución estándar del analito en estudio según lo indicado en el método de análisis a validar.
2. Preparar un blanco de excipientes contenidos en el producto terminado y tratarlo de la misma forma que a la muestra según el método en estudio.
3. Tanto el estándar como el blanco se determinan en triplicado.

1b. Evaluación:

La selectividad queda demostrada al no existir respuesta con la muestra de excipientes en comparación con el estándar.

2. Exactitud

La exactitud... Continuar leyendo "Validación de Métodos Analíticos: Selectividad, Exactitud, Precisión y Más" »

Fundamentos de Hipótesis Estadística

Región de Aceptación

Es el intervalo de valores posibles del estadístico de prueba que señala la aceptación de la hipótesis nula.

Región Crítica

Es la zona de la curva de la distribución en la que se rechaza la hipótesis nula y en la que está contenido el error.

Nivel de Significación

Es el nivel de error de Tipo I que estamos dispuestos a soportar y la probabilidad de error, en términos de porcentaje, que estamos dispuestos a tolerar.

Nivel de Confianza

Es un valor teórico de la probabilidad de que un determinado intervalo de confianza abarque el verdadero parámetro de la población.

Contraste de Hipótesis

Tiene como objeto analizar si los resultados obtenidos en un muestreo pueden ser generalizados... Continuar leyendo "Conceptos Esenciales de Estadística: Hipótesis, Muestreo y Medidas" »

Introducción a la Ciencia y la Estadística

Ciencia

La ciencia combina el método empírico (basado en la observación de la realidad) con el método hipotético-deductivo (basado en la lógica y la formulación de hipótesis).

Estadística

La estadística se encarga de analizar datos muestrales para realizar inferencias sobre una población.

• Estadística Descriptiva: Se enfoca en describir y resumir las características de una muestra.
• Estadística Inferencial: Permite generalizar los hallazgos de una muestra a la población de la que fue extraída.

La probabilidad actúa como el puente que conecta la muestra con la población.

Conceptos Fundamentales en Estadística

Población y Muestra

• La población es el conjunto total de elementos o individuos

Lógica Proposicional: Formalización y Equivalencias

Ejercicio 1: Formalización de Enunciados Condicionales

1. Formalizar los enunciados:

Si hace frío, él lleva bufanda.

• Sea p: hace frío
• Sea q: él lleva bufanda
• Formalización: p → q

Equivalencias Lógicas:

• Inversa: “Si no hace frío, entonces él no lleva bufanda.” ~p → ~q
• Recíproca: “Si él lleva bufanda, entonces hace frío.” q → p
• Contrapositiva: “Si él no lleva bufanda, entonces no hace frío.” ~q → ~p

Ejercicio 2: Formalización de Enunciados con “Solo si”

Solo si Rafael estudia, aprobará el examen.

• Sea p: Rafael estudia
• Sea q: Rafael aprobará el examen
• Formalización: q → p (o p ← q)

Equivalencias Lógicas:

• Inversa: “Si Rafael no aprueba el examen, entonces no estudia.