Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Propiedades y Significados de Medidas de Tendencia Central

1. Propiedades de la Media Aritmética

• Intervienen todos los valores del conjunto de datos.
• Es un número comprendido entre el máximo y el mínimo de los datos.
• Puede tener un valor distinto a los valores de la variable.
• Es sensible a los valores atípicos (outliers).
• Es sensible al cambio de origen: si se suma o resta una constante a todos los valores, la media también se suma o resta esa constante.
• Es sensible al cambio de escala: si se multiplican o dividen todos los valores por una constante, la media también se multiplica o divide por esa constante.
• La suma de las desviaciones de los datos respecto a la media es igual a 0.
• Hay que tener en cuenta los valores nulos en su cálculo.
• La media

Conceptos Fundamentales de Probabilidad

Definiciones Clave

• Experimento: Se clasifica en:
  • Determinista: Su resultado se conoce de antemano.
  • Aleatorio: Su resultado no se puede predecir antes de realizarlo.
• Suceso elemental: Cada uno de los posibles resultados individuales de un experimento.

  Ejemplos: (cara) o (sello) al lanzar una moneda; (1), (2), (3), etc., al lanzar un dado.

• Espacio muestral (E): Conjunto formado por todos los sucesos elementales posibles.
  • Ejemplo Moneda: E = {cara, sello}
  • Ejemplo Dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Suceso compuesto (o aleatorio): Cualquier subconjunto del espacio muestral.
  • Ejemplo (Dado): Que salga impar: A = {1, 3, 5}
  • Ejemplo (Dado): Que salga número > 3: B = {4, 5, 6}

La Probabilidad

La Probabilidad es un número entre... Continuar leyendo "Fundamentos de Probabilidad: Conceptos Esenciales y Tipos de Sucesos" »

Physis: L'Essència del Devenir

Ens podem referir a Physis com allò no òntic que està darrere del naixement dels ens i de la seva evolució; és a dir, allò que hi ha al darrere i que s'està produint.

Logos: L'Ordre i la Regulació de la Presència

Logos: Substantiu que prové del verb que significa "ajustar" o "seleccionar". És allò no òntic implicat en la presència de les coses i que determina si són presents i com ho són; és a dir, allò que està darrere les coses regulant el que es fa present i el que deixa de fer-se.

Aletheia: El Desvetllament de la Veritat

Aletheia: Substantiu format per un prefix negatiu i la paraula "oblit", "enigma", "foscor". El significat general és "trencar l'oblit", "desfer l'enigma", "fer-se present".... Continuar leyendo "Conceptes Filosòfics i Estratègies de Màrqueting: Una Anàlisi" »

Preguntes i Respostes

26. Són medicaments d'ús restringit:

c. D'ús hospitalari

27. S'hauria d'anotar en el llibre d'estupefaents:

c. ECM, estupefaents, psicòtrops i fórmules magistrals

28. En el cupó precinte d'un medicament s'hi poden trobar els següents símbols:

EQ, • , i

29. El CN d'un medicament:

c. Consta de 6 dígits i un de control i està al superior dret.

30. Pel que fa a la substitució de medicaments amb recepta:

b. Substituir en situacions excepcionals, el farmacèutic diligenciarà la recepta.

31. Quan l'usuari sol·licita un medicament pel seu nom comercial i el tècnic li dona i tanca la venda:

a. Dispensació verdadera

32. Dels següents, quins consideres medicaments complexos:

Febrectal supositoris, insulina Lantus, Turbohaler,

Subespacios Vectoriales

• Un subconjunto V de un espacio vectorial Rⁿ es un subespacio vectorial (SEV) de Rⁿ si verifica que:

1. El vector 0 de Rⁿ está en V.
2. ∀ u, v ∈ V ⇒ u+v ∈ V.
3. ∀ u ∈ V y ∀ λ ∈ R ⇒ λu ∈ V

Teoremas sobre Subespacios Vectoriales

Teorema 2.1

La ecuación vectorial x₁a₁ + x₂a₂ + · · · + x_qa_q = b es equivalente al sistema lineal cuya matriz ampliada es [ a₁ a₂ . . . a_q | b ].

Teorema 2.2

(a) Dados los vectores v₁, v₂, . . . v_p de un subespacio vectorial V, el conjunto H = Gen{v₁, v₂, . . . , v_p} es un subespacio vectorial. (b) Además se verifica que H ⊆ V

Teorema 2.3

Sean A = [ a₁ a₂ . . . a_n ] una matriz (m×n) y b un vector de R^m. La ecuación matricial Ax = b tiene las mismas soluciones que la ecuación vectorial... Continuar leyendo "Subespacios Vectoriales y Transformaciones Lineales en Álgebra Lineal" »

Optimització: Resolució de Problemes de Màxims i Mínims

Per resoldre problemes d'optimització, seguim els següents passos:

1. Llegir bé l'enunciat i identificar les funcions implicades.
2. Unir les funcions en una sola, si és necessari.
3. Derivar la funció resultant.
4. Igualar la derivada a zero per obtenir els punts crítics (valors de x).
5. Representar els punts crítics a la recta real per buscar màxims i mínims.
6. Obtenir conclusions basades en els resultats.

Activitat 1: Suma de Quadrats Mínima

La suma de dos nombres no negatius és 36. Troba'ls per tal que la suma dels seus quadrats sigui la més petita possible.

• Sigui x el primer nombre.
• El segon nombre serà 36 - x.
• Volem que la suma dels seus quadrats sigui mínima.

Per tant, la funció a minimitzar... Continuar leyendo "Problemes d'Optimització i Geometria: Càlcul de Màxims i Mínims" »

Operaciones con Polinomios

Grado de un Polinomio

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus monomios.

Suma y Resta de Polinomios

Para sumar o restar polinomios, se agrupan los términos semejantes y se operan sus coeficientes. Es fundamental prestar atención a los signos.

Multiplicación de Polinomios

Se multiplica cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio ("todos por todos"). Luego, se suman los términos semejantes.

División de Polinomios

La división de polinomios sigue un algoritmo similar a la división numérica. Existe la división tradicional y la regla de Ruffini.

División de Ruffini

La división de Ruffini es un método abreviado para dividir un polinomio por un binomio de la forma (... Continuar leyendo "Operaciones con Polinomios y Resolución de Ecuaciones e Inecuaciones" »

Exploración Detallada de las Funciones Hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas. Estas son:

Curvas de las funciones hiperbólicas $\sinh$, $\cosh$ y $\tanh$

Curvas de las funciones hiperbólicas $\mathrm{csch}$, $\mathrm{sech}$ y $\mathrm{coth}$

Definiciones Fundamentales

El seno hiperbólico:

El coseno hiperbólico:

La tangente hiperbólica:

Y otras funciones recíprocas:

(cotangente hiperbólica)

(secante hiperbólica)

(cosecante hiperbólica)

Proporcionalidad de Cantidades

Dos cantidades X e Y son proporcionales si su relación es constante: y / x = m (o también y = mx). En este caso, el número m se llama la constante de proporcionalidad.

La gráfica de la función que relaciona dos cantidades proporcionales es siempre una línea recta que pasa por el origen (la recta y = mx).

Semejanza de Figuras

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque difieran en tamaño. Hay dos condiciones que deben cumplir las figuras para ser semejantes:

• Los segmentos involucrados son proporcionales, es decir, la longitud de cada uno de ellos se obtiene multiplicando la longitud correspondiente en la otra figura por un factor fijo (doble, triple, etc.). Este factor es la razón de semejanza.

Orientación Instrumental en Fotogrametría

La orientación instrumental consiste en conseguir la reproducción de la posición exacta de los dos haces de rayos y que su situación respecto al terreno sea igual a la que tuvieron al ser impresionadas ambas fotografías durante el vuelo. Esta operación está compuesta por la orientación interna y la orientación externa.

Orientación Interna

Es la reconstrucción de los haces perspectivos que originaron cada imagen.

Orientación Externa

A través de ella se consigue que todos los haces perspectivos, formados en las dos proyecciones continuas mediante la orientación interna, coincidan en el espacio y tengan correspondencia unívoca con respecto al terreno; es decir, idéntica posición a la que... Continuar leyendo "Fundamentos de la Orientación Instrumental en Fotogrametría" »