Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Rectas en el Espacio

Las rectas pueden ser definidas de varias maneras:

• Por un punto y un vector director: Un punto P(x₀, y₀, z₀) y un vector director V_r(v₁, v₂, v₃).
• Por dos puntos: Dos puntos P₁(x₁, y₁, z₁) y P₂(x₂, y₂, z₂), donde el vector director V_r = P₁P₂.

Ecuaciones de la Recta

• Vectorial: (x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + λ(v₁,v₂,v₃)
• Paramétrica:
  x = x₀ + λv₁
  y = y₀ + λv₂
  z = z₀ + λv₃
• Continua: (x - x₀)/v₁ = (y - y₀)/v₂ = (z - z₀)/v₃
• General o Implícita: Representa la recta como la intersección de dos planos.
  A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0
  A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Planos en el Espacio

Los planos pueden ser definidos de varias maneras:

• Por un punto y dos vectores directores: Un

Ordenar polinomios

El primer paso consiste en ordenar los polinomios de mayor a menor. Ahora se deberán agrupar los monomios con el mismo grado. Finalmente, se procede a sumar los monomios semejantes.

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. También podemos restar polinomios escribiendo el opuesto de uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

Multiplicación de polinomios

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio. Se suman los monomios del mismo grado. Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

ROC de la Transformada Z

• P1: La ROC de X(z) consiste en un anillo en el plano z centrado alrededor del origen.
• P2: La ROC no contiene ningún polo.
• P3: Si x[n] es de duración finita, entonces la ROC es el plano z completo, excepto posiblemente en z=0 y/o z=∞.
• P4: Si x[n] es una secuencia derecha y si el círculo |z|=r₀ está en la ROC, entonces todos los valores finitos de z para los cuales |z|>r₀ también estarán en la ROC.
• P5: Si x[n] es una secuencia izquierda y si el círculo |z|=r₀ está en la ROC, entonces todos los valores z para los cuales 0<|z|<r₀ también estarán en la ROC.
• P6: Si x[n] es bilateral y si el círculo |z|=r₀ está en la ROC, entonces esta consistirá en un anillo en el plano z que incluye al círculo |z|=r₀.
• P7:

Conceptos Fundamentales de Estadística

La Estadística es la ciencia que se encarga de la recopilación, organización, presentación, análisis e interpretación de datos para la toma de decisiones.

Elementos Clave en Estadística

• Población: Conjunto total de individuos, objetos o eventos bien definidos sobre los cuales se desea estudiar una característica específica.
• Marco Muestral: Es la lista o registro de todos los elementos de la población de la cual se puede obtener información.
• Muestra: Un subconjunto representativo y aleatorio de la población, seleccionado del marco muestral, del cual se recolectará la información. Es crucial que sea representativa para que las conclusiones sean válidas para la población.

Variables Estadísticas

Una... Continuar leyendo "Conceptos Fundamentales de Estadística Descriptiva: Términos Clave y Medidas" »

INFLAZIOAREN ARAZOA

Egoera horretan, oso zaila izan zen arazo ekonomikoei aurre egiteko neurria eraginkorrak aplikatzea.

• Herrialde neutralek, Ameriketako Estatu Batuek eta Erresuma Batuak politika deflazionista zorrotza ezarri zuten inflazioa gelditzen saiatzeko: gastu politikoa gutxitu zuten, zergak igo zituzten, eta zirkulazioan zegoen dirua eta kredituak murriztu zituzten. Borroka horren ondorioz, ekoizpenak bat-batean behera egin zuen, eta langabeen kopurua handitu egin zen. Neurri horiez gain, estatu horiek protekzionismoa areagotu zuten, kanpotarren lehiari aurre egiteko.
• Beste herrialde batzuek, Frantzia, Belgika eta Italia zor handiak zituzten eta ez zuten gaitasunik izan etengabeko inflazio handi horri aurre egiteko, horrenbestez, ez

Análisis de funciones: Dominio: Donde el denominador no sea 0. Recorrido: Donde vale la función en el eje Y. Puntos de corte: Eje OX: f(x)=0 Eje OY: x=0. Simetría: f(-x) Par. -f(x) Impar. Asíntota vertical: lim donde x valga donde el dominio no esté, por la izda y por la dcha. Asíntota oblicua: Si lim x cuando tiende a infinito de f(x)/x pertenezca a los reales excepto 0 y infinito. Asíntota horizontal: Cuando el lim tiende a infinito y f(x) pertenezca a los reales. Intervalos: Se hace la derivada y luego con lo que valga x hacemos tabla para evaluar el signo. Max y min: Cogemos lo que vale la x en los intervalos y hacemos y= sustituimos lo que valga x dentro de f(x). curvatura: 2 derivada y y hacemos tabla para ver si es cóncava(... Continuar leyendo "Análisis de funciones: dominio, recorrido, puntos de corte y más" »

Propiedades de la Función de Probabilidad y Distribución

Función de Probabilidad (para variables discretas):

• f(x_i) está entre 0 y 1.
• La suma de todas las f(x) es igual a 1: Σ f(x) = 1.

Función de Distribución:

• F(X) está entre 0 y 1.
• f(x) es no decreciente.
• f(a) ≤ f(b).
• f(a) = Σ f(a) (y lo mismo para b).

Esperanza y Varianza: Definiciones y Propiedades

Esperanza (E(x)): Media ponderada de los posibles resultados, donde el coeficiente de ponderación de cada resultado es su probabilidad.

E(x) = Σ [f(X) * x]

Propiedad de Linealidad de la Esperanza:

E(ax + b) = aE(x) + b

Demostración:

E(ax + b) = (ax₁ + b) f(x₁) + ... + (ax_n + b) f(x_n)

= ax₁ * f(x₁) + ... + ax_n * f(x_n) + b f(x₁) + ... + b f(x_n)

= a(x₁ * f(x₁) + ... + x_n * f(x_n)) + b(f(x₁) + ... +... Continuar leyendo "Propiedades y Fórmulas Clave de Probabilidad: Variables Aleatorias Discretas y Continuas" »

¿Qué es una esfera?

Una superficie esférica es una superficie de revolución formada por el conjunto de todos los puntos del espacio que distan de un punto llamado centro.

Cálculo del volumen de una esfera

La fórmula para calcular el volumen de una esfera es V=4πr²/3.

Para calcular el volumen de una esfera con un perímetro de 80 cm, se sustituyen los valores en la fórmula: V= 4(3.1416) (12.73 cm)³ = 25923.60/3 = 8641.2 cm³.

Se calcula el radio (r) de la esfera utilizando la fórmula d=P/π=80 cm/ 3.1416= 25.46 cm, por lo que r=d/2=12.73 cm.

Cálculo del área de una esfera

Para calcular el área de una esfera con un perímetro de 35 cm, se utiliza la fórmula A=4πr², obteniendo un área de 389.9256 cm².

Cono

Cálculo del área lateral