Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Estimadores Estadísticos y Contrastes de Hipótesis

En estadística, es fundamental comprender las propiedades de los estimadores y cómo realizar contrastes de hipótesis. A continuación, se detallan los conceptos clave:

Propiedades de los Estimadores

• Insesgadez: Un estimador es insesgado si su valor esperado coincide con el parámetro a estimar. Esto significa que su función de densidad (o función de probabilidad en caso discreto) está centrada en el parámetro a estimar, proporcionando valores "alrededor" del parámetro.
• Eficiencia: Un estimador es eficiente si su varianza coincide con la cota de Cramer-Rao. En este caso, será el estimador de menor varianza entre los estimadores insesgados.
• Consistencia: Un estimador es consistente si converge

¿Qué es el Álgebra?

El Álgebra es una rama fundamental de las matemáticas que se encarga del estudio de la combinación de elementos de estructuras abstractas, utilizando letras y símbolos para representar números y cantidades.

Padre de las Matemáticas

El padre de las matemáticas es Al-Juarismi (Abu Abdallah Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi), un matemático, astrónomo y geógrafo persa del siglo IX, cuyas obras fueron fundamentales para el desarrollo del álgebra y los algoritmos.

Clasificación de los Números

Los números se clasifican en diferentes conjuntos, cada uno con propiedades específicas:

• Números Imaginarios: Son aquellos que resultan de la raíz cuadrada de un número negativo. Se representan con la unidad imaginaria i (donde

Nombres Racionals i Propietats Fonamentals

Nombres Racionals

Tot nombre racional s'expressa de manera única per un nombre decimal que és exacte o periòdic.

La proporció (1 + arrel quadrada de 5) / 2 relaciona la longitud del costat gran amb la longitud del costat petit (proporció àuria).

Propietats de la Suma

• Associativa: (a + b) + c = a + (b + c)
• Commutativa: a + b = b + a
• Existència d'element neutre (0): a + 0 = a
• Existència d'element simètric (l'element oposat -a): a + (-a) = 0

Propietats de la Multiplicació

• Associativa: (a * b) * c = a * (b * c)
• Commutativa: a * b = b * a
• Existència d'element neutre (1): a * 1 = a
• Existència d'element simètric (l'element invers 1/a, si a ≠ 0): a * (1/a) = 1
• Distributiva de la multiplicació respecte a

Las Leyes de Mendel: Principios de la Herencia Genética

1. Primera Ley de Mendel: Ley de la Uniformidad de la Primera Generación Filial (F1)

La descendencia resultante del cruce de dos individuos homocigotos está formada por un conjunto de híbridos que presentan uniformidad, tanto desde el punto de vista del genotipo como del fenotipo.

2. Segunda Ley de Mendel: Ley de la Segregación (o Disyunción) de los Caracteres Antagónicos

Los individuos de la F2, resultantes del cruzamiento entre sí de los híbridos de la F1, son diferentes en fenotipo unos de otros. Esto se debe a la disyunción o segregación de los factores responsables de dichos caracteres, los cuales se encontraban juntos en el híbrido y luego se separan y se reparten entre distintos... Continuar leyendo "Principios Fundamentales de la Herencia: Las Leyes de Mendel y la Transmisión Genética" »

P1. Cálculo de Días de Operación de Excavadora

Se pide hallar la cantidad de días de operación de una excavadora para mover un material en estado suelto, el cual conformará una base que, en su forma compacta, tendrá las siguientes dimensiones: base mayor de 9.50 m, base menor de 6.50 m, espesor de 0.30 m, y longitud de 3.75 km. El factor de compactación (F.C.) es 1.38. Los datos adicionales son:

Terreno:

• 50% tierra
• 50% roca

Maquinaria:

1. Tiempo de maniobra: 35 segundos
2. Factor de llenado (F.LL.) típico de material con partículas mayores a 12 mm
3. Tiempo contributorio: 13 minutos
4. Disponibilidad mecánica: 0.885
5. Capacidad del cucharón: 3.26 m³

Solución:

Primero, calculamos el volumen compactado (Vc) del material:

Vc = (9.50 + 6.50) / 2 * 0.30 * 3750... Continuar leyendo "Cálculo de Días de Operación de Maquinaria para Movimiento de Tierras" »

Propiedades de las Circunferencias

Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está en la recta O₁O₂.

Si una recta es tangente a una circunferencia, el punto de tangencia está en la perpendicular a r trazada por O.

Si una circunferencia pasa por dos puntos, su centro está en la mediatriz del segmento que une dichos puntos.

Si una circunferencia es tangente a dos rectas, su centro está en la bisectriz del ángulo que forman dichas rectas.

Teorema de Thales

Si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Definiciones Básicas

La bisectriz de un ángulo es una semirrecta que divide al ángulo en dos partes... Continuar leyendo "Conceptos Geométricos Fundamentales" »

Tipus de Variables Estadístiques

En estadística, les variables es classifiquen segons la naturalesa de les dades que representen:

• Variables Nominals o Categòriques

  No hi ha cap ordre entre les categories. Són exemples: gènere, país d’origen, partit polític, estat civil, situació laboral. (En programari com PSPP, es correspon amb el tipus Nominal).

• Variables Ordinals

  Les categories es poden ordenar de més a menys, però sense conèixer la magnitud exacta de la diferència entre elles. Són exemples: classe social, nivell d’estudis, ideologia política. (En PSPP, es correspon amb el tipus Ordinal).

• Variables d'Interval

  Es poden ordenar i permeten realitzar operacions aritmètiques (suma, resta). El zero és arbitrari i no indica absència

Formulari de Matemàtiques

Gràfiques:

• Continuïtat: Una funció és contínua en un punt a si: f(a) = lim_x→a^- f(x) = lim_x→a⁺ f(x)
• Discontinuïtat de salt finit: lim_x→a^- f(x) ≠ lim_x→a⁺ f(x) ≠ f(a)
• Discontinuïtat de salt infinit: Un o ambdós límits laterals són infinits.
• Discontinuïtat evitable: lim_x→a^- f(x) = lim_x→a⁺ f(x) ≠ f(a)

Asímptotes:

• Asímptota Vertical (A.V.): lim_x→a f(x) = ±∞
• Asímptota Horitzontal (A.H.): lim_x→∞ f(x) = b (on b és un nombre finit)
• Asímptota Obliqua (A.O.):
  • m = lim_x→∞ (f(x) / x)
  • n = lim_x→∞ (f(x) - mx)
  • Equació de l'asímptota obliqua: y = mx + n

Teoremes:

• Teorema de Bolzano: Si f(x) és contínua en [a, b] i f(a) * f(b) < 0 (signes diferents), llavors existeix almenys un c ∈ (a, b)

Filosofia política

Nicolau Maquiavel.

No explica com hauria de ser un estat ideal.

Descriu com haurien de ser les tasques del govern i quina hauria de ser la política per a conservar la seguretat de l’Estat.

Objectiu principal de qualsevol sistema polític ha de ser conservar el benestar de l’estat.

• Per aconseguir-ho el príncep ha de tenir poder sobre el territori per a que ningú li pugui plantar cara.

• “El fi justifica els mitjans” (Napoleó)

• Maquiavel creu que els humans són egoistes i que només busquem el nostre propi profit i benefici. (Per aquest motiu el príncep no es pot fiar de ningú)

Thomas More i les utopies

• Obra més destacada → L’illa d’Utopia 

En aquesta illa descriu una societat perfecta, ideal, justa i igualitària.... Continuar leyendo "Filosofia política: Nicolau Maquiavel i Thomas More" »

Errusiako Iraultza mundu osoko historian garrantzi erabakigarria izan zuen. Errusia historiako lehen erregimen komunista izatera heldu zen. Iraultza oso bizkorra eta erradikala izan zen. Gerra zibil odoltsu baten ondorioz Leninek Sobietar Estatu berria sendotu egin zuen, Lenin hil zenean, 1924-an Stalinek planifikazio berria ezarri egin zuen, erregimen totalitario oso gogorra ere ezarri zuen.

Erregimen Tsarista

Tsarismoa erregimen autokratikoa izan zen, botere absolutuak zituen tsar batek gidatuak eta eredu sozioekonomikoa tradizionaletan oinarrituta.

Errealitate Ekonomikoa

Antzinako laborantzan oinarritzen zen Errusiako Inperioko jarduera ekonomikoa. Errusia herrialde atzeratua zen oso lehiakortasun txikikoa.

Errealitate Soziala

Gizarte errusiarra... Continuar leyendo "Errusiako Iraultza" »