Chuletas y apuntes de Matemáticas de Bachillerato y Selectividad

Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica

Vectores y Puntos Alineados

• Vectores Linealmente Dependientes e Independientes: Dos vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. En caso contrario, se denominan linealmente independientes.

• Puntos Alineados: Tres o más puntos están alineados si los vectores que se forman entre ellos, por ejemplo, →AB y →BC, son paralelos (es decir, proporcionales).

Posiciones Relativas en el Espacio

Posiciones Relativas entre Rectas

Dos rectas en el espacio pueden ser coincidentes, paralelas, cortarse en un punto o cruzarse. Para estudiar las posiciones relativas entre dos rectas, r y s, se utilizan los rangos de la matriz de coeficientes (M)... Continuar leyendo "Geometría Analítica Espacial: Conceptos Fundamentales de Vectores, Rectas y Planos" »

Operaciones Fundamentales con Vectores

Cálculo de Ángulos entre Vectores

El coseno del ángulo (θ) entre dos vectores v1=(x1, y1, z1) y v2=(x2, y2, z2) se calcula mediante la fórmula del producto escalar:

cos(θ) = (v1 · v2) / (|v1| * |v2|)

• Donde v1 · v2 = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2 (producto escalar).
• Y |v| = √(x² + y² + z²) (módulo del vector).

Producto Escalar

Para determinar si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar debe ser cero.

Producto Vectorial

• Para hallar un vector perpendicular a otros dos vectores, se utiliza el producto vectorial.
• El área de un paralelogramo formado por los vectores AB y AC se calcula como el módulo del producto vectorial: Área = |AB x AC|.
• El área de un triángulo formado por los vectores AB y AC

Hominidoen Eboluzioa eta Giza Garapena

Gizakiaren historiaurreko garapena ulertzeko, gure arbasoen eboluzio-prozesua aztertzea ezinbestekoa da. Hainbat hominido-espeziek hartu zuten parte prozesu luze horretan, bakoitzak bere ezaugarri eta ekarpenekin.

Australopithecus

Australopithecus-ak oihanean bizi ziren, duela hiru milioi urtetik milioi bat urtera bitartean. 500 cm³-ko garezur-edukiera zuten (gorilen antzekoa) eta hankabikoak ziren. Garai berekoa zen Homo habilis ere (aztarnak Afrikan aurkitu zituzten), baina kopeta zabalagoa zuen, 700 cm³-ko garezur-edukiera, eta bizimodu desberdina zuen: eremu zabaletan bizitzen hasi zen (belardietan eta sabanetan), familietan antolatuta, eta txabolak nahiz tresnak egiten zituzten.

Homo Erectus

Eboluzio-... Continuar leyendo "Gizakiaren Eboluzioa eta Giza Berezitasunak" »

Ejercicios: Responder V (verdadero) o F (falso) — Matrices y vectores

1) Responder V o F:

• A. Una matriz no singular tiene D = 0. F Una matriz no singular tiene determinante distinto de 0 (D ≠ 0).
• B. El rango de una matriz de dimensión 3×4 puede ser superior a 3. F El rango r ≤ min(número de filas, número de columnas) = 3, por lo que no puede ser mayor que 3.
• C. Una matriz transpuesta tiene distinto determinante. F La matriz transpuesta tiene el mismo determinante que la original: det(A^T) = det(A).
• D. La inversa de la inversa es la matriz original. V Si A es invertible, (A^{-1})^{-1} = A.

2) En una matriz cuadrada de orden 3, la 3ª fila es 2 veces la primera:

• A. Su rango es 3. F Al tener una fila linealmente dependiente de otra, el rango

Posición Relativa entre Recta y Plano

Forma 1: Estudio mediante Matrices y Rangos

Para determinar la posición, se debe construir la matriz (M) y la matriz ampliada (M').

• Si los dos rangos son iguales a 3 (Rango(M) = Rango(M') = 3): Se trata de un SCD (Sistema Compatible Determinado); la recta y el plano se cortan en un punto único, siendo la recta secante al plano.
• Si los dos rangos son iguales a 2 (Rango(M) = Rango(M') = 2): Se trata de un SCI (Sistema Compatible Indeterminado); la recta está contenida en el plano.
• Si el Rango(M) = 2 y el de la ampliada (M') = 3: Se trata de un Sistema Incompatible; la recta y el plano no se cortan, por lo tanto, la recta es paralela al plano.

Forma 2: Uso de Vectores y Puntos

Consiste en obtener el punto de... Continuar leyendo "Geometría Analítica en el Espacio y Cálculo Integral: Posiciones Relativas, Ángulos y Distancias" »

Ejercicios resueltos de álgebra y cálculo multivariable

1. Subespacio vectorial en R⁴

Considere el subespacio vectorial S de R⁴ dado por un sistema de ecuaciones. Encuentre una base de S y escriba sus ecuaciones paramétricas.

Solución:

Dimensión = n - número de ecuaciones cartesianas linealmente independientes (LI). Si una variable no aparece en las ecuaciones cartesianas, es un parámetro. Si aparece en ambas, también lo es. Se define S = {&, &, &, @} y, como la dimensión es 2, se buscan 2 vectores para la base.

2. Aplicación lineal en R²

La aplicación lineal f: R² -> R² es tal que f(1, 0) = (1, 1) y f(0, 1) = (0, -1). Exprese la matriz de dicha aplicación y su matriz semejante referida a una base de autovectores.

Solución:

Ejercicios de Matemáticas: Optimización, Probabilidad y Sistemas de Ecuaciones

Ejercicio 1: Optimización de Lámparas

Sopranos y Mezzos

Restricciones:

• x + y + z = 15
• 20x + 30y ≥ 6000 (Simplificado: 2x + 3y ≥ 600)
• 20x + 10y (Simplificado: 2x + y)

Ejercicio 2: Optimización de Unidades Sueltas y Lotes

Unidades Sueltas

y - 2 = z - 1

Lotes de 4

x + 4y

x+3y

Beneficio: B(x) = -x² + 360x - 18000

A) Calcular el beneficio para 100 unidades.

1. Sustituir x = 100 en B(x).

¿Cuántas unidades se han vendido si el beneficio diario es de 13500?

1. Igualar 13500 = -x² + 360x - 18000.

B) Número de unidades para beneficio máximo. ¿A cuánto asciende el beneficio?

1. Derivar B(x).
2. Igualar la derivada a 0.
3. Calcular B(180) y hacer un boceto.

C) ¿Cuántas unidades hay que vender

Antzinako Erregimenaren Krisialdia: Espainiako Erresuma XVIII. Mendean

XVIII. mendean, Espainian Borboitarrak zeuden agintean. Borboitarrak errege absolutistak ziren. Absolutismoaren arabera, erregeen botere politikoa (gizarte politiko bat antolatzeko eskubidea eta ahalmena) Jainkoak emanda zegoen.

Borboitarren absolutismoak Ilustrazioan eragina izan zuen. Ilustrazioa XVIII. mendeko mugimendu filosofiko-kulturala izan zen.

Erregimen Zaharraren Oinarriak

• Erregeen botere pertsonala.
• Nobleen pribilegioak.
• Elizaren nagusitasuna eta erlijioaren gehiegizko eragina.

Ilustrazioaren Filosofia

Ilustratuek arrazoiaren bitartez jendartea “argitu” nahi zuten. Ilustrazioaren filosofia Argien Filosofia izenez ezagutzen da.

Filosofo ilustratuek progresoan sinesten... Continuar leyendo "Antzinako Erregimenaren Krisia: Borboitarrak XVIII. Mendean" »

Las estaturas y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son:

Estatura (X)Peso (Y)

1868518985
1908619290
1938719391
19893201103
203100205101

Calcular:

1 La recta de regresión de Y sobre X.

2 
El coeficiente de correlación.

3 
El peso estimado de un jugador que mide 208 cm.

Xiyixi²yi²xi ·yi

1868534 5967 22515 8101898535 7217 22516 065
1908636 1007 39616 3401929036 8648 10017 280
1938737 2497 56916 7911939137 2498 28117563
1989339 2048 64918 41420110340 40110 60920 703
20310041 20910 00020 30020510142 02510 20120 705

1 950

921

380 618

85 255

179 971

Correlación positiva muy fuerte.

Tipos de ángulos y relaciones

Ángulos correspondientes: Son los ángulos que se encuentran en el mismo lado de la secante, formando parejas: A–E, C–G, B–F, D–H.

Alternos internos: Son los ángulos interiores que se encuentran en uno y otro lado de la secante: C–F, D–E.

Alternos externos: Son los ángulos exteriores que se encuentran en uno y otro lado de la secante: A–H, B–G.

Ángulos complementarios: Son dos ángulos cuyas medidas suman grados sexagesimales; es decir, si dos ángulos complementarios son, además, consecutivos, los lados no comunes de estos forman un ángulo recto.

Ángulos suplementarios: Dos ángulos y son suplementarios si suman 180°.

Ángulos adyacentes y opuestos

Ángulos adyacentes: Son aquellos ángulos... Continuar leyendo "Tipos de ángulos y criterios de triángulos: definiciones y propiedades geométricas" »