Valoración de Bonos: Cálculo de Precios, Duración y Tasas de Rendimiento

Problema 1: Valoración, Duración y Rentabilidad de Bonos

Los bonos A y B pagan un valor nominal (principal) de $1.000 al vencimiento y cupones anuales. Ambos vencen en 3 períodos (años). El bono C paga flujos de caja específicos: $300 en t = 1, $200 en t = 2 y $200 en t = 3.

Características de los Bonos

Cuestionario y Cálculos Requeridos

1. Determine el precio de cada bono, asumiendo los vencimientos implícitos en los cálculos (1, 2 y 3 años).
2. Calcule las tasas yield (tasas spot) para bonos con vencimiento a 1, 2 y 3 años.
3. Determine la duración del bono C, si la TIR de mercado es del 7%.
4. Usted invierte comprando 2 bonos A, 1 bono B y 2 bonos C. ¿Cuál es la duración de la cartera?
5. Dada la inversión anterior, si usted vende su cartera en t=2, ¿qué rentabilidad obtiene?

Soluciones Detalladas

A. Determinación del Precio de los Bonos

El precio de los bonos se calcula descontando los flujos de caja futuros a la Tasa Interna de Retorno (TIR) correspondiente:

• Bono A: $1.050 / (1,08) = $972
• Bono B: $100 / (1,085) + $1.100 / (1,085)² = $1.027
• Bono C: $300 / (1,09) + $200 / (1,09)² + $200 / (1,09)³ = $598

B. Cálculo de las Tasas Yield (Tasas Spot)

Las tasas yield (o tasas spot) construyen la estructura de tasas de interés sobre la base de tasas ciertas. Se utilizan los precios calculados para determinar los factores de descuento (b_n) y, a partir de ellos, las tasas spot (Y_n).

• Factor de Descuento b₁: $972 / $1.050 = 0,9257142857
• Ecuación para b₂: $1.027 = b₁ * 100 + b₂ * 1.100
• Ecuación para b₃: $598 = b₁ * 300 + b₂ * 200 + b₃ * 200
• Cálculo de Y₃: Y₃ = $\sqrt[3]{1/b_3}$

C. Determinación de la Duración del Bono C

La duración de Macaulay mide la sensibilidad del precio del bono a los cambios en la tasa de interés. Se calcula utilizando la TIR de mercado del 7%.

$$\text{Duración Bono C} = \frac{1 \cdot (300 / (1,07)) + 2 \cdot (200 / (1,07)^2) + 3 \cdot (200 / (1,07)^3)}{618} = 1,81 \text{ años}$$

D. Duración de la Cartera de Bonos

Para calcular la duración de la cartera, primero se debe determinar el precio total de la cartera y luego ponderar la duración de cada bono por su peso en el valor total.

• Precio Ponderado (Paso Intermedio): $2.800 \cdot 0,9257142857 + 1.500 \cdot 0,8494805195 + 400 \cdot 0,751948052 = $4.167
• Duración de la Cartera: $$\frac{(1 \cdot 2.800 \cdot 0,9257142857) + (2 \cdot 1.500 \cdot 0,8494805195) + (3 \cdot 400 \cdot 0,751948052)}{4.167}$$
• Resultado: Duración de la cartera = 1,45 años

E. Rentabilidad de la Cartera al Vender en t=2

Se calcula el precio de compra (P_c) y el precio de venta (P_v) en t=2, asumiendo una TIR de mercado del 7% para la venta.

• Precio de Compra (P_c): $2 \cdot 972 + 1.027 + 2 \cdot 598 = $4.167
• Precio de Venta (P_v) en t=2: $2.800 + 1.100 / (1,07) + 400 / (1,07)^1 + 400 / (1,07)^2 = $4.551
• Rentabilidad Obtenida: $4.551 / $4.167 - 1 = 0,0922
• Resultado: Rentabilidad = 9,22%

Problema 2: Cálculo de Tasas Spot y Tasas Forward

Usted se encuentra a comienzos del período (t = 0). Calcule los precios de los bonos antes de calcular lo solicitado.

Características de los Bonos

• Bono A: Promete pagos de $100 al final de cada uno de los dos años que le quedan para llegar al vencimiento. Su TIR de compra es de 11%.
• Bono B: Tiene una tasa de carátula o cupón de 10% anual. A fines del primer año (t = 1) pagará solo los intereses ($100). A fines del segundo año (t = 2) pagará su valor de emisión o nominal ($1.000) más los intereses correspondientes ($100). La TIR de compra de este bono es 10%.

Cuestionario

¿Cuáles son las tasas forward 0f1 y 1f2?

Cálculo de Precios (Paso Inicial)

• Precio del Bono A (P_A): $100 / (1,11) + $100 / (1,11)² = $171
• Precio del Bono B (P_B): $100 / (1,1) + $1.100 / (1,1)² = $1.000

Determinación de Factores de Descuento (b_n)

Se utiliza el sistema de ecuaciones para determinar los factores de descuento (b₁ y b₂):

• Ecuación 1 (Bono A): $171 = $100 \cdot b_1 + $100 \cdot b_2
• Ecuación 2 (Bono B): $1.000 = $100 \cdot b_1 + $1.100 \cdot b_2

Resolviendo el sistema (resta de Ecuación 2 menos Ecuación 1):

• $171 = 100 \cdot b_1 + 100 \cdot b_2$
• $-1.000 = -100 \cdot b_1 - 1.100 \cdot b_2$
• $-829 = -1.000 \cdot b_2$
• b₂ = 0,829
• b₁ = 0,881 (Calculado como: $(171 - 82,9) / 100$)

Cálculo de Tasas Spot (Y_n)

• Tasa Spot Y₁: $(1 / 0,881) - 1 = 0,135$ → 13,5%
• Tasa Spot Y₂: $\sqrt{1 / 0,829} - 1 = 0,0983$ → 9,83%

Cálculo de Tasas Forward (f_n)

Las tasas forward se derivan de la estructura de tasas spot.

• Tasa Forward 0f1 (Tasa Spot a 1 año): $Y_1 = 13,5%$
• Tasa Forward 1f2 (Tasa implícita entre t=1 y t=2): $$\frac{(1 + Y_2)^2}{(1 + Y_1)} - 1$$
• $$\frac{(1 + 0,0983)^2}{(1 + 0,135)} - 1 = 1,06278 - 1 = 0,06278$$
• Resultado: Tasa Forward 1f2 = 6,27%