Teoría de Conjuntos y Números Naturales: Conceptos, Operaciones, Relaciones y Divisibilidad

CNJUNT

:nºcualqiera d objts q se reunn pa frmar 1colecc.

Rlacion prtnencia

:cda1d ls objts q cmponn 1cnjunt=elemnt d ese cnjunt.
Ltras myusculas=cnjunt.
Letras minusc=elemnts conjunts(mEC).

Cnjunt bien dfinid

:cuand dad 1elemnt cualquier se pued dtrminar si prtnc o no a ese cnjunt.

Frma d dar 1cnjunt

:

X xtnsion

Nmbrand cda1 elemnts(M={a,b,c...,r})
(A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})
.

X cmprension

Enunciando propiedd q sea cumplid x ts ls elemnts dl cnjunt y slo ells. (A={x|x posee propiedd p})
(A={xEN|1<><>)

Rprsntacion grafica

:Diagram Venn

Dibujr curva crrada q rprnta al cnjunt y dntr se sitúan elemnts q lo frman.

Rprsntacion lineal

Dibujr línea rcta q rpensta cnjunt y sobr ella situar elemnts q lo frman.

Cnjunt unitario

:frmads x 1unic elemnt.

Cnjunt vacío

:no tiene elemnts(o/)

Cuantificadors

:

Existncial

Pa sustituir xpresion exist al mns(E al rvs)
.

Univrsal

Pa sustituir xprsion cualqiera q sea o pa to(A al rvs)

SUBCNJUNT

:2cnjunts(A,B).A sta cntnid n Bó A s subconjunt d B (AcB;

Rlacion inclusión

OPRACIONS NTR CNJUNTS

:

Difrncia cnjunts

:
A-Bcm cnjunt elemnts d A q no stan n B.

A-B={x|xEA,xE/B}

Unión cnjunts

:
AUB,cnjunt frmad x tos elemnts q prtncn a A o a B o a ambs.

AUB={x|x E A o x E B}

.Intrsccion cnjunts

:
ANB,cnjunt frmad x ts elemnts q prtncn a AyB simultaneamnt.

ANB={x|xEA y xEB}

PROPIEDADS Unión CNJUNTS

:

Unifrm

Unión d 2cnjunts exist siempr y s única.

Conmutativa

AUC=Búa.

Asociativa

(AUB)UC=AU(BUC).

Elemnt neutr

AUo/=o/UA=A.

Idempotente

AUA=A.

PROPIEDADS INTRSCCION CNJUNTS

:

Unifrom

Intrseccion d2cnjunts exist siempr y es única.

Conmutativa

ANB=BNA.

Asociativa

(ANC)NC=AN(BNC).

Absorbente

ANo/=o/NA=o/.

Idempotente

ANA=A.

Propied distributiva

:3cnjunts,propied distrib d la intrsccion rspct d la unión

AN(BUC)=(ANB)U(ANC).

D la unión rspcto d la intrsccion

AU(BNC)=(AUB)N(AUC).

Partición

:

Cnjunt disjunt:

2cnjunts cuand su intrsccion s l cnjunt vacío.A y B disjuntos si ANB=o/.no tienn ningn elemnt común.

Partición

:dado 1conjuntA,si podms ncontrar 2subconjunts ByC d A tals q cumplan 2cndicions.A=BUC;o/=BNC.

Producto cartesiano

:
dads 2 cnjunts,s l conjunt frmad x tos ls pares odnads cya primra cmponnt prtnec a A y la segnda a B. AxB={(x,y)|xEA, yEB}.
Dads 3cnjunts,cnjunt frmad x toas las ternas ordnadas cya primera cmponent prtnc a A,la2ºa By 3ºa C. AxBxC={(x,y,z)|xEA, yEB, zEC}.

Propiedads Produc cartesiano

:

No conmutativa o copulativa

Axb=/BxA,xq al dfinir product cmo pares ordnads, AxB={(x,y|xEA, yEB} BxA={(y,x)|yEB,xEA}.

No cumple propied conmutativa

No es asociativa

(AxB)xC=/Ax(BxC)
xq(AxB)xC={[x,y),z]|(x,y)EAxB,zEC}; Ax(BxC)={[x,(y,z)]|xEA,(y,z)EBxC).

Propied distributiva product cartesiano rspcto a unión d cnjunts

Ax(BUC)=(AxB)U(AxC).

Propied distributiva product cartesiano rspcto a intrseccion d cnjunts

Ax(BNC)=(AxB)N(AxC).

Propied distributiva product cartesiano rspect a difrncia d cnjunts

(Ax(B-C)=(AxB)-(AxC).

RLACIONS

:ntr elemnts d 1mism cnjunt.
P rlacionada cn recta= p T(al rvs) q.
2elemnts a,bEM rlacionads mdiant rlacion(R)→aRb ó R(a,b).

Represntacion

Ejes cartsians.

Propiedads rlacions binarias

:

Rflxiva

Cuand to elemnt d ese cnjunt sta rlacionad cnsigo mism.A(al rvs)xEM se verifica
:xRx o bien R(x,x).(x,x)EMxM.Se dnota x tos ls punts d la diagonal dl product cartsiano MxM.

Simétrica

Cuand pa2elemnts x e y dl cnjunt,si el 1ºsta rlacionad cn l 2º,tb 2ºrlacionad cn 1º. X,yEM si xRy→(y,x)ER(M)siendo R(M)CMxM.

Antisimetrica

Pa2elemnts x e y dl cnjunt.Si 1º rlacionad cn 2º,ntoncs 2º no rlacionad cn 1º. Si xRy→yR/xsiendo x=/y.
Tb,dads 2elemnts x e y dl cnjunt si 1ºsta rlacionad cn 2º y 2ºrlacionad cn 1º s xq ls 2elemnts sn iguals. Si xRy e yRx→x=y.

Transitiva

Dads 3elemnts x y z, si x sta rlacionad cn y e y rlacionad cn z,x rlacionad cn z. Si xRy e yRz→xRz.

Relación EQIVALNCIA,conjunt cocient

:1rlacion binaria stablcida ntr ls elemnts d 1cnjunt s d eqivalncia si verifica las propiedads rflxiv,simtrica y transitiva.

Relación eqivalncia y partición

:

Rflxiva,simtrica y transitiva

Relación ORDN

:1rlacion binaria R stablcida ntr ls elemnts d 1cnjuntA s d ordn o d ordn parcial si verifica las propiedads rflxiva,antisimtrica y transitiva.
L cnjunt A se dic q sta parcialmnt ordnado.

CORRSPONDNCIA

:ntr2cnjunts AyB cuand se rlcionan ls elemnts d A cn ls dl B.
f:A→B o A ---- f--->B.

Casos corrspondncia

:puedn abr punts n A sin q salgan flechas y q de alguno salgan varias.En B puedn llegar a un punto dos flechas y quedar libres puntos.Q d 1solo punt d A salgan hacia Bvarias flechas.A B puedn llgar varias flechas al mismo punto.

Corrspondncia univoca

D 2 o+punts d A llegan a un mismo punt d B varias flechas.

Corrspondncia biunívoca

A B solo llga 1flxa x punt.

Cnjunto partida

Inicial(A)todos los numeritos q aparecen.

Cnjunto origen

Dl inicial,solo d ls puntos q saln flechas(A).

Cnjunt llgada

Tods ls nºs dl cnjunt B.

Cnjunt imagn

Dl cnjuntB,punts a ls q llga x lo mns 1flxa.

Corrspondncia inversa

:corrspondncia q tien x cnjunt inicial o d partida l cnjunt final o d llgada B d f,x cnjunt final l inicial A d f y x rgla d asociación la q asigna a cda elemnt bEB sus originals x f.(f-1)
.

APLICACIONS

:1corrspondncia f d A en B s aplicación cuand a to elemnt d A le corrspond 1elemnt d B y solo 1.De A siempre sale 1sola flecha hacia B, y solo 1. En Bpuedn qdar huecs suelts pro en A NO.

Tips aplicacions

:

Inyectiva

S1inyeccion d A en B si pa2elemnts x1 x2EA siendo x1=/x2 se verifica q sus imagns f(x1)y f(x2)prtnecients a Btb sn distintas.Nunca puedn tnr2elemnts tistints dl 1ºcnjunt la misma imagn xq si f(x1)=f(x2) ntoncs x1=x2.

Puedn qdar elemnts dl2ºcnjunt librs(no sn imagns)no llga flxa,pro d A saln tods

Sobreyectiva

Si cnjunt frmad x las imagns d ls elemnts d A coincid cn l cnjuntB. F(A)=B.

A tos elemnts2ºcnjunt(B)ls llga 1 flxa x lo mns(o+d1)

n(A)>=n(B).

Biyectiva

A la vz inyectiva y sobreyectiva.
x sr inyectiva se cumple x1=/x2 →f(x1)=/f(x2) siendo A(al rvs)x1,x2EA y f(x1),f(x2)EB.X sr sobreyctiva se cumple f(A)=B,a cda elemnt d A le corrspond solamnt 1elemnt dB y cda elemnt d B s imagn d 1slo elemnt d A(1-1tods cmplets)
.Nºd elemnts dl 1ºcnjunto=nºelemnts2ºcnjunt n(A)=n(B).

PRODUCTO O CMPOSICION APLICACIONS

:3cnjunts distints o no y 2aplicacions f d A en B y g d B n C. h(x)=g o f(x)=g[f(x)]=g(y)=z

RLACION COORDINABILIDAD

:2cnjunts AyBsn coordinabls si se pued stablecr ntr ells 1aplicacion biyectiva(1-1 ts complets).Rlacion coordinabilidd s rlacion d eqivalncia xq cumple propiedads rflxiva(to cnjunt s coordinabl cnsig mism),simtrica(dads2cnjunts AyB,si A s coordinabl cn B,tb B s coordinabl cn A; Si A¬B →B¬A)y transitiva(Si A¬B y B¬C →A¬C).

NºNatural

:(1,2,3..)cardinal dl cnjunt rpresentant d cda clase d eqivalncia.

Cardinal d 1cnjunt finito

Nºelemnts q tiene.

OPRACIONS NTR NºNATURALS

:

SUMA

:2cnjunts finits disjunts,llamamos n(A)=a al cardinal d A y n(B)=b al cardinal d B.Dfinims la suma d a y b cm cardinal dl cnjunto AUB q se llama c. C=AUB; a+b=n(AUB)=n(C)=c; siendo ANB=o/.

Propiedads

Conmutativa

2cnjunts disjunts AUB=Búa;
N(AUB)=n(Búa);n(A)+n(B)=n(B)+n(A);

A+b=b+a

Asociativa

3cnjunts disjunts

. (AUB)UC=AU(BUC)

(a+b)+c=a+(b+c).

PRODUCTO

:2cnjunts AyB,cys cardinals sn ay b,l product axb s l cardinal d AXB.

Axb=n(AxB)=n(A)x n(B)

Propiedads

Conmutativa

N(AxB)=n(BxA); n(A)x n(B)= n(B)x n(A);

Axb=bxa

Asociativa

N[(AxB)xC]=n[Ax(BxC)];

(axb)x c=ax(bxc)

Elemnto neutro

A s 1cnjunt unitario y B1cnjunt cualquiera. N(AxB)=n(A)xn(b)=1xb; n(B)=n(AxB);

B=1xb

Distributiva

Ax(BUC)=(AxB)U(AxC);

Ax(b+c)=(axb)+(axc)

RESTA

:AyB 2cnjunts tals q BCA t cys cardinals sean ay b.Diferencia a-b s cardinal d A-B.

A-b=n(A-B)

Propiedads

Distributiva

3cnjunts. Ax(B-C)=(AxB)-(AxC).

Ax(b-c)=(axb)-(axc)

División

:cocient ntero d 2nºs naturals,dividndo y divisor.Myr nºnatural q multiplicad x l divisr da 1rsultad igual o mnr q l dividnd.Cuando rsultad d multiplicr divisr x cocient s dividndo,división exacta.
Sino es ntera.

Potenciación

:rptir cm fctr 1nº a llamado base tantas vcs cm indica otr,b,llamado xponent.

Propiedads

Distributiva

S distributiva x la drxa rspect multiplic.(axb)`c=a'cxb'c.

Otras

Product d 2potncias d igual base es misma base y suma xponents.Cocient 2potncias igual base es misma base y difrncia exponents.Potncia d 1potncia es otra potncia misma base y exponnt=multiplicar ls xponents antriors.

Radicación

:2nºs naturals a y n (a>n)llamads radicando e indic,dfinims raíz n-sima ntera d a cm myr nºntural q elevado a n ns da 1nºigual o mnr q radicando.Resto=difrncia ntr radicando y l cuadrado d la raíz.

Propiedad distributiva

A la izda rspcto d la multiplic.

Otras propiedads suma y producto

:

Simplificación suma

Si AUC=BUC→A=B; n(AUC)=n(A)+n(C)=a+c. N(BUC)=n(B)+n(C)=b+c, si a+c=b+c→a=b

.Monotonía suma

Si A=B→AUC=BUC.

Si a=b→a+c=b+c

Simplificación product

AxC=BxC→A=B;

Si axc=bxc→a=b

Monotinia product

Si A=B→AxC=BxC; si a=b→axc=bxc.

Múltiplo

:

A=·b→E(al rvs)nEN|a=bn

DIVISIBILIDD

:2nºs ayb prtncients a Nse dic q a s dibvisibl x b si: b/a<--> E(al rvs)nEN|a=bn.Dfinicions multipl y divisr:dads 2nºs,si a es multipl d b,ntoncs b s divisr d a. A=·b<->b/a.'->-->Ser múltiplo d' y 'ser divisr d' sn rlacions inversas

:

Propiedads

1

Rlacion divisibilidd n l cnjunt N d nºsnaturals s 1rlacion d ordn pro no d ordn total

Cumple propiedads:

Rflxiva

:

A/a→E(al rvs)1EN|a=1xa

A=·a

Antisimtrica

:Si a/b y b/a→a=b; b=·a y a=·b→a=b;

Si a/b→E(al rvs)pEN|b=ap; Si b/a→E(al rvs)qEN|a=bq

B=bpq→1=pq→p=q=1, ntoncs a=b.

Transitiva

:

Si a/b y b/c→a/c

Si a/b→E(al rvs)pEN|b=ap; Si b/c→E(al rvs)qEN|c=bq; b=·a y c=·b→c=·a; d dnd c=bq=apq=a(pq)→a/c.
no s rlacion d ordn total xq dads 2nºs naturals cualesqiera no tiene xq ocurrir q l 1ºdivida al 2ºy l 2ºdivida al 1º.

2

El 1EN divid a ts ls nºs naturals

1/a xq E(al rvs)aEN|a=1xa

A=1;

3

To nº natural q divid a varios nºs naurals divid a su suma

Si a,b,c,m E N y m/a, m/b y m/c→m/a+b+c

De m/a→E(al rvs)pE N|a=pm;De m/b→E(al rvs) qEN|b=qm;De m/c→E(al rvs) rEN|c=rm;a+b+c=(p+q+r)m→m/a+b+c.

4

To nºntural q divid a otrs 2 divid a su difrncia

Si m,a,bEN(a>b) y m/a,m/b→m/a-b

Si m/a→E(al rvs) pEN|a=pm;Si m/b→E(al rvs) qEN|b=qm; entoncs, a-b=(p-q)m→m/a-b;

5

To nºntural q divid a otro,divid a ls multipls d st

Si m,a,nEN y m/a→m/an

Si m/a→E(al rvs) pEN|a=pm;an=pnm=(pn)m→m/an.

6

Dads 2nºs nturals ay b y a/b si cEN tb se vrifica q ac/bc

Si a/b→E(al rvs) pEN|b=ap

Bc=(ac)xp→ac/bc.

CRITERIOS DIVISIBILIDD

:

NºPrimo

Nºntural a s primo d si y solo si es divisibl x l mism y la unidd.

AEN es primo a/a y 1/a. ->

Nºcmpuesto:

cualqier nºntural q no s primo.Tien+divisors q l mismo y la unidd.

Divisibilidd x2

:acban n 0 o cifra par. N=dcba;dx1000+cx100+bx10+a=(dx1000+cx100+bx10)+a=·2; a db sr 0 o multipl2.

Divisibilidd x5

:acba n 0 o 5; n=abcd;dx1000+cx100+bx10+a= (dx1000+cx100+bx10) +a=·5

Divisibilidd x3

:sumand sus cifras,rsultad=multipl d3. N=cba;a+10b+100c=a+(9+1)b+(99+1)c=a+b+c+9b+99c=a+b+c+3(3b+33c)=(a+b+c)+·3.

Divsibilidd x11

:sumand cifras lugr impar,par y rstand=0o·11. N=dcba=a+10b+100c+1000d=a+(11-1)b+(99+1)c+(1001-1)d=(a-b+c-d)+(11b+99c+1001d)=(a-b+c-d)+11(b+9c+91d)=(a-b+c-d)+·11.

Divisibilidd x4

:nºdivisibl x4 slo si lo es l nºfrmad x sus 2ultimas cifras.N=dcba. N=dcx100+ba=dc00+ba=·4+ba.

Divisibilidd x25

:nºdivisibl x25si lo es l nºfrmad x sus 2ultimas cifras.N=dcba; n=dcx100+ba=dc00+ba=·25+ba.

Divisibilidd x9

:suma d toas sus cifrs=multipl9.N=dcba;n=a+10b+100c+1000d=a+(9+1)b+(99+1)c+(999+1)d=(a+b+c+d)+(9b+99c+999d)=(a+b+c+d)+9(b+11c+111d)=(a+b+c+d)+·9.

NºPRIMOS(1-100)

:1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97MAXIM CMUN DIVISR

:multiplicnd fctors prims comuns elevads al mnr xponent.

Mcd(a,b)=D

Propiedads

:

1

Dads 2nºs naturals ayb,siendo D su mcd se dscompon d la forma

a=a'D y b=b'D, siendo a' y b' 2nºs nturals q no tienn ningn divisr cmun(prims ntr si),xq si lo tuvieran Dno seria mcd.Mcd(a',b')=1.2

.Si 2nºs se multiplicn o dividn x 1trcero q s divisr cmun,mcd D qda multiplicad o dividid x dixo nº

Si mcd(a,b)=D→mcd(a/D, b/D)=1; mcd(a,b)=mcd(a'D,b'D)=D; mcd(a'b')=mcd(a/D,b/D)=1;

N cuant a multiplic si a y b se multiplicn x n

: an=a'Dn y bn=b'Dn; mcd(an,bn)=mcd(a'Dn,b'Dn)=Dn.

MINIM CMUN MULTIPL

:d2o+nºs se obtiene multiplicand ls fctors prims comuns y no comuns elevads al myr xponent.

Propiedads

:

1

Si 2nºs se multiplicn o dividn x 1trcero su mcm qda multiplicad o divivid x dixo nº

Sean a,bEN y nEN. Si mcm(a,b)=M→mcm(an,bn)=Mn;Si mcm(a,b)=M→mcm(a/n, b/n)=M/n.2

.To multipl cmun d 2nºs lo es tb d su mcm

Si a,b,mEN siendo m=·aym=·b→m=(barra)mcm(a,b).

TEOREMA FUNDAMNTAL

:l maxcd x mincm d 2nºs nturals ayb s igual al product d dixs nºs. Mcd(a,b)x mcm(a,b)=axb