Teoremas de Derivadas e Integrales: Máximos, Mínimos y Área entre Curvas

Tangente Horizontal

Tangente horizontal: Una función f tiene tangentes horizontales cuando la derivada es igual a 0, es decir, f'(x)=0.

Teorema de continuidad y derivabilidad

Teorema: Si f es derivable en c, entonces f es continua en x=c.

Máximos y mínimos

• Una función f tiene valor máximo absoluto en c si f(c)≥f(x) para toda x en el dominio de f.

• Una función f tiene valor mínimo absoluto en c si f(c)≤f(x) para toda x en el dominio de f.

• Una función f toma valores máximos locales si f(c)≥f(x) para toda x cercana a c; y toma valores mínimos locales en c si f(c)≤f(x) para toda x cercana a c.

Teorema del valor extremo

Sea f una función continua en el intervalo [a;b]. Entonces f tiene un valor máximo absoluto f(c) y un valor mínimo absoluto f(d) en algún número c y d en [a;b].

Teorema de Rolle

Garantiza la existencia de valores extremos dentro de un intervalo si se cumple:

1. f es continua en [a;b].
2. f es derivable en (a;b).
3. f(a)=f(b).
4. Existe un valor c en (a;b) tal que f'(c)=0.

Hay que evaluar la función en los extremos del intervalo; si los resultados son iguales, se deriva la función y la derivada se iguala a 0.

Teorema del Valor Medio

Si f satisface:

1. f es continua en [a;b].
2. f es derivable en (a;b).

Entonces existe un número c en (a;b) tal que: f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a).

Números críticos

Valores donde la derivada es cero o no existe. Se calculan con f'(x)=0. Si f'(x)>0, la función crece; de lo contrario, decrece.

Puntos de inflexión

Puntos en los que la función cambia de concavidad. Se calculan con f''(x)=0. Si f''(x)>0, la gráfica es cóncava hacia arriba; de lo contrario, es cóncava hacia abajo.

Método de la segunda derivada

Sea f una función tal que f'(c)=0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c.

• Si f''(c)>0, f tiene un mínimo local en (c; f(c)).
• Si f''(c)<0, f tiene un máximo local en (c; f(c)).
• Si f''(c)=0, el criterio falla: f quizá tenga un máximo local, un mínimo local, o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada.

Regla de L'Hôpital

Si f y g son derivables y g'(x)≠0 en un intervalo abierto que contiene a a (excepto quizás en a), se aplica L'Hôpital ante una indeterminación.

Tener en cuenta:

• n/∞=0; n/0=∞; ∞/n=∞; 0/n=0 (donde n es un número distinto de cero).
• cosec x=1/sen x; sec x=1/cos x; cotan x=1/tan x; tan x=sen x/cos x; cotan x=cos x/sen x.

Antiderivada o Primitiva

Una función F se denomina antiderivada de f en un intervalo I si F'(x)=f(x) para todo x en I. Si F es una antiderivada de f, entonces cualquier otra antiderivada G tiene la forma: G(x)=F(x)+C.

Área bajo una curva

El área bajo una curva es la integral desde a hasta b de f(x)dx.

Integrales especiales

Límites de integración:

• Igualdad de límites: Si a pertenece al dominio, entonces la integral desde a hasta a es igual a 0.
• Inversión de límites: La integral de a hasta b es igual a la negativa de la integral de b hasta a.

Regla de Barrow

Sea f una función continua en el intervalo [a;b] y F una antiderivada de f en dicho intervalo. Entonces la integral de a hasta b de f(x)dx es igual a F(b)-F(a).

Área entre curvas

El área entre curvas se calcula como la integral de a hasta b de [f(x)-g(x)]dx. Se toma la función techo menos la función piso. Para identificarlas, se evalúan ambas funciones en el mismo valor, y la de mayor resultado es la función techo.