Teoremas de Rolle, Lagrange, Bolzano y Cauchy sobre derivadas

Resumen

El documento recoge cuatro teoremas fundamentales del cálculo diferencial: Rolle, Lagrange, Bolzano y Cauchy. Para cada uno se indican las hipótesis de continuidad y derivabilidad necesarias y la conclusión sobre la existencia de un punto intermedio. Es un repaso útil para entender cuándo se garantiza la existencia de ceros o de valores de la derivada.

Puntos clave

Teorema de Rolle: si f es continua en [a,b], derivable en (a,b) y f(a)=f(b), existe c en (a,b) con f'(c)=0.
Teorema de Lagrange: si f es continua en [a,b] y derivable en (a,b), existe c en (a,b) que cumple la relación entre la derivada y la pendiente de la secante.
Teorema de Bolzano: si f es continua en [a,b] y toma valores de signo distinto en a y b, existe c en (a,b) con f(c)=0.
Teorema de Cauchy: con f y g continuas en [a,b] y derivables en (a,b), y g(b) distinto de g(a), existe c en (a,b) que cumple (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) = f'(c)/g'(c).
Rolle es un caso particular de Lagrange, y Lagrange es un caso particular de Cauchy.

Ponte a prueba

Rolle: Si f(x)es una funcion continua en [a,b], derivable en (a,b) y f(a)=f(b), entonces existe al menos un numero c (a,b) t·q f `(c)=0.
Lagrange: Si f(c)es una funcion continua en [a,b] derivable en (a,b), entonces existe al menos un numero c (a,b) t·q
f(c)=
Bolzano: Si una función f(x) está definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de distinto signo en los extremos a y b, entonces existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) en el que se f(c)=0
Cauchy: Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en ( a, b ) , tales que sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de ( a, b ) y g(b) es distinto de g(a). Entonces existe, al menos, un punto c del intervalo ( a, b ) tal que (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) = f'(c)/g'(c)

Preguntas frecuentes

¿Qué dice el teorema de Rolle?

Si f es continua en [a,b], derivable en (a,b) y f(a)=f(b), entonces existe al menos un punto c en (a,b) tal que f'(c)=0.

¿Cuál es la diferencia entre el teorema de Bolzano y el de Rolle?

Bolzano garantiza un punto donde f(c)=0 cuando f cambia de signo en los extremos del intervalo. Rolle garantiza un punto donde f'(c)=0 cuando f(a)=f(b).