Soluciones hoja 3

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Soluciones hoja 3
1) i) c
->(0)=(1,0,1) c->(pi)=(-1,0,pi+1) c->(t)=(-sent,cost,1) ||c->(t)||=? ((-sent)2+(cost)2+1)=? 2 L=?0pi ? 2dt= ? 2[t]0pi= pi? 2 ii) se hace = L= ? 2ln( ? 2+1)/4+3/2 iii) se hace = L=? 3[epi/2-1] 2) L =?ab ||c->´(t) ||dt c->(t)=(x,f(x)) dc->/dx(1,f´(x)) x(t)=t y=f(x(t))=f(t) ||c->´(t)|| =? (1+f´(x)2) L =?ab ?(1+f´(x)2)dx 3)i) x=rcosteta y=rsenteta c->(t)=(x(t),y(t)) c´->(t)=(dx/dt,dy/dt) ||c->´(t)|| =?( (x´)2+ (y´ )2)=?(( r´)2+ ( teta´)2) dx/dt=dx/drdr/dt+dx/dtetadteta/dt=costetar´-rsentetateta´ dy/dt=dy/drdr/dt+dy/dtetadteta/dt=sentetar´+rcostetateta´ x´2=cos^2tetar´2+r^2sen^2tetateta´2-2rsentetacostetar´teta´ y´2= sen ^2tetar´2+r^2 cos ^2tetateta´2+ 2rsentetacostetar´teta´ x´2+y´2=r´2+r2teta´2 L=?ab ?(r´2+r2teta´2)dt ii) ? F->c´->dt F(P,Q) c´->(x´,y´) Pdx+Qdy p*=p(rcosteta,rsenteta) q*(rcosteta,rsenteta) ?F->c´->=Pdx/dt+Qdy/dt=p*(costetar´-rsentetateta´)+q*(sentetar´+rcostetateta´)=(p*costeta+q*senteta)+r(-p*senteta+q*costeta)teta´=(P *cos(teta) + Q *sen(teta))+ (Q *cos(teta) ? P *sen(teta))teta´ iii) L=?0pi ?(r´2+r2teta´2)dt =pi P=-rsenteta=-sentsent=-sen^2t=p* Q=rcosteta=sentcost=q*  ?0pi[(-sen^2t)cost+(sentcost)sent]costdt+sent[(sentcost)cost+sen^2tsentdt]=pi/2 4) c`->(cost,-sent,3t^2) ||c´->||=? (1+9t^4) f (c->(t)) =arccos^3(cost)(sen^2t+cos^t)=t^3 ?0pi/2f(c->(t))||c´->(t)||dt=?0pi/2t^3? (1+9t^4) dt =((1+(pi/2)^4)^3/2 -1)/54 5) = al ejercicio 4 6) = al ejercicio 4 y 5 7)x=0 x=2 i) y=2x dy=2dx ?c-> [xy dx + 2y dy] =?02 [x2x dx + 4x2d x] ?02 [ 2x2dx + 8xdy] =[2x^3/3+4x^2]02=16/3+16=16+48/3=64/3 ii) = al anterior iii) x=1-copit dxpisenpitdt y=t^2+3t dy=(2t+3)dt y sustituyendo = q antes da 16 8) F->(x,y,z)=F1+F2+F3=(y,-x,1) de c->t cogemos x=cost y=sent z=t/2pi y los derivamos W=?c-> F->dr->=?02pi F 1dx+F2dy+F3dz sustituyendo nos dará finalmente la integral que valdrá resolviendola 1-2pi 9) es = al ejercicio 8 10) se hace = q el 8 y el 9 pero resolviendo 1º una integral c1 y luego c2 y el resultado coincide es 2pi eso dice que el campo a lo largo de la trayectoria es tg y si calcularamos -c1 las curvas c1 y-c1 se anularian las integrales Todos los demás ejercicios hasta el 17 incluido se harían = 18)calculo del rotacional y si el campo vale 0 del potencial 19)y 20)Hacer los pasos anteriores y para el calculo del trabajo entre 2 ptos usar el potencial calculado sustituyendo el valor de b y restando el valor de a Recordatorio:Tma de Green=componente z del rotacional 19)F->(2xy,x^2) para z=0 cuando antes (ej 4,5,6,7) sacabamos x e y del c-> y dx dy al derivar para calcular la integral de linea y a veces nos salian largas funciones de sen y cos teta,etc con el tma de green obtenemos esta integral ??c->(2x-2x)dxdy=0 derivando dQ/dx-dP/dy en F-> 21) Se hace = al 19 y evitamos hacer 4 integrales c1 c2 c3 c4 22) x los 2 caminos recintos(x=costeta, y=senteta, dx, dy) y green sale lo mismo -pi 23) y 24) tma de green 25) por suma de recintos de curvas c1 c2 c3 etc (=ej 4,5,6,7) 26) Teoría sobre el flujo la circulación y el tma de la divergencia 27) Tma de la divergencia F->(x,-y) F->=dx/dx +d(-y)/dy=1-1=0 flujo=integral cerrada de la curva de F->uN->ds=tma divergencia=integral doble en D F->dxdy=0 29i)yii) y 31) se usa l módulo de c-> y su derivada y los valores de x e y y sus derivadas calculo de integral de linea por suma de recintos c1 c2 c3 (= q ej 4,5,6,7) 30)integral entre 0 y 1 de F->r´->dt tb calculo del rotacional que da un campo conservativo lo que indica que la integral de linea no depende del camino 32) Circulacion= cv->dS->=Tma de green=??E( 3-2)dxdy=??E( 3-2)dxdy =2pi Flujo= cv->un->dS->= tma divergencia=??Edv ( v->)dxdy =??E( dP/dx-dQ/dy )dxdy =??E( 0 )dxdy =0 33) sustituir en la f(x,y,z) los valores de r-> para x,y,z y calcular la integral de la función que queda por el módulo de la derivada de r-> entre 0 y 4pi resultado: 9+4t^2/2 34) hacer lo mismo que en el 33                                             

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