Razones trigonométricas

EJEMPLO:

3.Transformar a grados el ángulo 54º46´27"

Solución: escribiremos 54º46´27" = 54º+ 46 +

60

27  =

3600

4.     Transformar a minutos el ángulo 12º45´17"

"

Solución: escribimos

12°45´17"12 ⋅ 60 + 45 + 17 / 60 =  45917

60

≈ 765,28333"

5.     Trasformar a segundos el ángulo 23º32´43"

Solución: escribimos 23°32´43" = 23 ⋅ 3600 + 32 ⋅ 60 + 43 = 84763"

SISTEMA RADIAL

Este sistema considera una vuelta completa de circunferencia equivalente a  2π

radianes . La unidad en

este sistema es el radian. Un radian es el ángulo central en una circunferencia que marca sobre ésta un arco de longitud igual al radio de la circunferencia

42

EQUIVALENCIA ENTRE EL SISTEMA SEXAGESIMAL Y RADIAL

Puesto que una vuelta completa de circunferencia es equivalencia

360º ↔ 2π

rad podemos establecer la siguiente

EJEMPLOS:

1.     Transformar a radianes el ángulo α = 150º

Solución: establecemos la proporción

x rad

= π rad

150º

180º

Entonces x = 150 ⋅π

180

2.     Transformar a grados sexagesimales el ángulo β = 4π

3

= 5π

6

rad

rad

Solución: establecemos la proporción

43

x   = 180

4π      π

3

Entonces

x = 4π

3

⋅180 = 240º

π

SISTEMA CENTESIMAL

Este sistema considera una vuelta completa de circunferencia equivalente a sistema es el grado centesimal.

400c    y la unidad en este

El Taquímetro, es un instrumento topográfico que utiliza este sistema de medición angular.

TRANSFORMACIÓN DEL SISTEMA CENTESIMAL A SEXAGESIMAL Y RADIAL

Para transformar ángulos  del  sistema  centesimal  a  sexagesimal  y  a  radial  (y  viceversa)  utilizamos  las siguientes expresiones

EJERCICIOS:

Expresar en grados los siguientes ángulos

a)    23°30´45”                                            b)    56°33´26”                                            c)     71°15´59” Expresar en minutos los siguientes ángulos

d)    33°30´15”                                            e)    71°33´46”                                            f)      37°15´19” Expresar en segundos los siguientes ángulos

g)    63°16´45”                                            h)    16°33´28”                                            i)      21°15´52”

44

Expresar en radianes cada uno de los siguientes ángulos:

a)    30°

b)    135°

c)    45°36´

d)    54°27´37”

Expresar en grados, minutos y segundos cada uno de los siguientes ángulos

π

a)       rad

3

5π

b)         rad

6

c) 7π rad

6

d) 4π rad

3

Expresar en grados centesimales los siguientes ángulos

a)    45° b)    60° c)       150° d)  135° e)  225°

g)     5π rad

6

7π

h)             rad

6

4π

f)      π rad

3

i)              rad

3

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

En esta sección se definen seis relaciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente como una razón entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo

DEFINICIÓN:  dado   el   triángulo   rectángulo   ABC,  se  definen   las siguientes funciones trigonométricas

senα = cateto opuesto    = a

secα =  hipotenusa  =  c

hipotenusa          c

cat. opuesto    a

cos α = cateto adyacente = b

cos ec =

hipotenusa   = c

hipotenusa        c

cat. adyacente    b

tan α =

cateto opuesto   = a

cateto adyacento   b

cosecα =

cat. adyac  = b

cat. opuesto    a

45

En este  apartado  veremos  la  aplicación  de  la  trigonometría  a  la  resolución  de  triángulos  rectángulos. Indicaremos cómo calcular los elementos desconocidos cuando se conoce uno de los lados y cualquier otro elemento.

Lo anterior es fundamental cuando se desarrollan ciertos temas relacionados con la topografía y construcción.

Un triangulo rectángulo puede ser resuelto si se conocen:

•       Las longitudes de dos de sus lados, o bien

•      La longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo

APLICACIONES:

En cursos superiores, como Física aplicada a la Construcción y Comportamiento Estructural, las relaciones trigonométricas juegan un rol fundamental.

Como ejemplo veamos una aplicación a la descomposición de una fuerza en sus componentes horizontal y vertical.

Solución:

En la figura 1 se muestra una fuerza F la que forma un ángulo α

con la horizontal

Esta fuerza, junto a sus componentes forma un triángulo de fuerzas

senα =  y

F

, de donde se obtiene , y = F ⋅ senα

cosα =

x , de donde se obtiene, x = F cosα

F

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Ejemplo 2:

Descomponer la fuerza dada en sus componentes horizontal y vertical

Solución: dibujamos el triángulo de fuerzas y buscamos el suplemento de 145°, este es 35°

En este caso

y = 100 ⋅ cos 35 = 81,91

x = 100 ⋅ sen35 = 57,35

…….. ¿Por qué?

ÁNGULOS DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN

Angulo de Elevación: es el ángulo formado por la línea de visibilidad y la horizontal, por sobre ésta.

Angulo de Depresión: es el ángulo formado por la línea de visibilidad y la horizontal, por debajo de ésta.

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Ejemplo 1

En un punto situado a 452 metros de la base de un edificio se encuentra que el ángulo de elevación a la parte más alta de éste es 32º10´. ¿Cual es la altura del edificio?

Solución: La siguiente figura nos muestra la situación planteada

Observamos que los elementos dados se relacionan mediante la tangente.

Por definición tan 32º10`=

h

452

Entonces h = 452 × tan 32º10`≈ 284metros

Ejemplo 2:

Un tubo de desagüe se instala con un ángulo de depresión de 2º10`respecto de  la horizontal en un terreno nivelado. En un punto, la excavación mide 0.68 metros de profundidad. ¿Qué profundidad tendrá la zanja a

76.2 metros de este punto?

Solución: El siguiente diagrama muestra la situación

tan 2°10´=

Entonces

H

76.2

H = 76.2 × tan 2°10´≈

Ejercicios:

1.     Un muro vertical de 6,35 metros de alto sirve como represa de un control de un canal cuya pendiente es constante. Cuando el agua ha alcanzado la altura máxima del muro; el espejo de agua tiene una longitud de 14.3 metros de largo. Calcula el ángulo de elevación del canal.

2.     Se desea construir una rampa para dar acceso a un puente; el desnivel que se tiene que lograr con dicha rampa es de 10 metros con un ángulo de elevación constante de 3º30' ¿A qué distancia de la orilla del puente debe empezarse la rampa?

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3.     Un estadio de fútbol se planea con un ángulo ascendente en las gradas de 18º20´ con la horizontal; si cada 0.76 metros horizontalmente puede haber una fila de asientos y se desean 24 filas ¿Qué altura debe tener el estadio?

4.     Un tubo de desagüe se instala con un ángulo de 2º10´ con la horizontal en un terreno nivelado. En un punto, la excavación mide 0.68 metros de profundidad. Se desea saber, ¿qué profundidad tendrá la zanja a 76.2 metros de este punto?

5.     En un camino que tiene un ángulo de elevación de 5º40´ se coloca un instrumento de observación nivelado  sobre  un  trípode  de  1.5  metros  de  alto.  ¿A  que  distancia  sobre  la  carretera  podrá observarse a través de dicho instrumento?

6.     Una playa tiene un ángulo de elevación de 13º10´. La diferencia de alturas entre la marea baja y la marea alta es de 1,9 metros. ¿Qué distancia se extiende el agua sobre la playa entre la marea alta y la baja?

7.     Una tubería de 286 metros de largo se extiende desde el fondo de un estanque situado en lo alto de una colina a un valle, con un ángulo de pendiente constante de 22º 33' ¿Qué altura tiene el fondo del tanque respecto del valle?

8.     La pluma de una torre grúa tiene 26.8 metros de largo. El manual de operación nos indica que la torre no puede formar un ángulo menor que 45º50' ¿Cuál será la máxima distancia a la que podrá trabajar la grúa?

9.     Una cabaña tipo A tiene 7.83 metros de altura máxima en el centro 12.35 metros de ancho en la base. Calcular el ángulo que forma el techo con el piso.

10.  El terreno en un lado de una carretera tiene un ángulo de depresión de 7º48´. Se planea construir un lote de estacionamiento nivelado junto a dicho camino. ¿Qué altura tendrá el terraplén a 7.87 metros de la orilla del camino medidos sobre el terreno inclinado?

11.   Un pintor tiene que pintar el exterior de una ventana que está a 4.78 metros de altura sobre el suelo de un  jardín. Al pie de la ventana hay un macizo de arbustos que impiden colocar el pie de la escalera a menos de 1.93 metros de la fachada. ¿Qué largo mínimo de escalera tendrá que emplear el pintor para realizar este trabajo?

12.   Los  planes  de  una  nueva  carretera  especifican  que  tiene  que  pasar  sobre  un  canal  artificial (alcantarilla) en un punto donde la dirección de la carretera es de este a oeste, la dirección del canal es de N65º30´O. si la carretera tiene 9.4 metros de ancho encuentre la longitud de la alcantarilla.

13.  Las paredes de una zanja profunda se excavaron a una pendiente de 3 unidades horizontales por una vertical. Se midió después la distancia de la parte superior al fondo de la zanja sobre la pared inclinada y se encontró que era de 53 metros. ¿Cuál es la profundidad de la excavación?

49

CLASE 7: TEOREMA DEL SENO Y TEOREMA DEL COSENO

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ACUTÁNGULOS Y OBTUSÁNGULOS

Dado el triángulo ABC de la figura. Si se conocen las longitudes de uno de los lados y dos de sus otros elementos,  entonces, podemos determinar sus demás elementos aplicando el teorema del seno o bien el teorema del coseno. Pasamos a continuación a desarrollar cada uno de estos temas.

TEOREMA DEL SENO: Dado el triángulo ABC con ángulos internos entonces se cumplen siempre las siguientes relaciones

α, β, γ

y lados opuestos a, b y c

Ejemplo: Resolver el triángulo dados a = 12,3,α = 48º10' , γ  = 84º17'

Solución: aplicando la segunda forma del teorema de los senos escribimos

50

c

sen84º17'

=12,3

sen48º10'

entonces;

c =  12,3× sen84º17'

sen48º10'

= 16,43

Para obtener el ángulo β hacemos cuenta de que:

α + β +γ

=180º

Entonces  β

=180º−48º10`−84º17`=

47º33`

Análogamente obtenemos el lado b escribiendo

b

sen 47º 33`

=12,3

sen 48º10`

entonces

b = 12,3 × sen47º33` = 12,18

sen 48º10`

APLICACIÓN:

Una masa cuelga desde dos tensores sujetos a dos apoyos fijos en el techo como indica la figura. Hallar la longitud de los tensores

Solución:

•      El ángulo formado por los tensores T1 y T2

se obtiene por diferencia: 180°-37°-50° =

93°

T1    =

•       sen50°

1.5

sen93°

entonces T1 = 1.5 × sen50° ≈ 1.15m sen93°

•      De igual forma se determina T2

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EJERCICIOS PROPUESTOS:

1.            Resolver los triángulos cuyos elementos se dan a continuación:

1.1 α = 32°14´, β = 61°34´, a = 48.63

1.2 α = 83°22´, β = 44°28´,b = 88.35

1.3 α = 77°46´,γ

= 51°8´,c = 446.2

1.4 β = 37°46.1´,γ

= 112°41.3´,c = 0.72250

2.             La pendiente del terreno de una calle es de 6°10´ ascendente. Un constructor desea nivelar un terreno  de  50 metros sobre dicha pendiente. Por razones de seguridad el corte posterior del terreno debe tener un ángulo de elevación de 26°40´. ¿A que distancia de la calle se extenderá la excavación, medida ésta sobre la pendiente actual?

3.             Una ladera natural tiene un ángulo de elevación de 3°40´. El ángulo de depresión del borde de una presa es  de 21°50´. La distancia medida según la pendiente del borde, desde el piso del canal a la parte superior es de 34,9 metros. ¿Cual es la altura de la pared superior de la presa sobre el piso del canal?

4.             Una rampa de 15.9 metros de largo con un ángulo de elevación de 31°10´ se construyó desde el nivel del piso de una plataforma de embarque. Se necesitará reemplazar la rampa con una nueva que tenga un ángulo de elevación de 22°40´. ¿Cuál será la longitud de la nueva rampa?

TEOREMA DEL COSENO: Este teorema es una generalización del Teorema de Pitágoras y plantea lo siguiente:

Dado un triángulo ABC cualquiera entonces el cuadrado de la longitud de cualquiera de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos dos veces el producto de estas longitudes y el coseno del ángulo comprendido entre ellos

El siguiente recuadro resume lo dicho anteriormente

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Solución: Mediante el teorema del coseno se tiene.