Razones y Proporciones: Conceptos, Propiedades y Ejemplos Resueltos

Sesión 2: Razones y Proporciones

¿Qué es una razón?

Es la comparación entre dos cantidades mediante la sustracción o la división.

Clases de razón

• Ejemplo: Las edades de Karina y Daniela son 32 y 8 años respectivamente. Halle la razón aritmética y la razón geométrica de sus edades.
• Interpretación:
  • Karina tiene 24 años más que Daniela.
  • La edad de Karina excede en 24 años a la edad de Daniela.
  • Daniela tiene 24 años menos que Karina.
  • La edad de Daniela es excedida en 24 años por la edad de Karina.

• Comparemos sus edades mediante la división:
• Interpretación:
  • Las edades de Daniela y Karina son entre sí como 1 es a 4.
  • Las edades de Daniela y Karina están en la relación de 1 a 4.
  • La edad de Karina es el cuádruple de la edad de Daniela.
  • La edad de Daniela es la cuarta parte de la edad de Karina.

Serie de Razones Geométricas Equivalentes (S.R.G.E.)

Es la igualdad de varias razones geométricas.

• Ejemplo:
• Donde:
  • 30; 18; 9 y 36 → antecedentes
  • 40; 24; 12 y 48 → consecuentes
  • 3/4 → constante de proporcionalidad
  • 30 y 48 → términos extremos

Propiedades de una S.R.G.E.

Dada la serie:

1. 

   • Ejemplo:

2. 

   • Ejemplo:

Proporción

Es la igualdad de dos razones de la misma clase que tienen el mismo valor.

Clases de proporción

• Proporción Aritmética: Es la igualdad entre dos razones aritméticas. Donde:

  • Ejemplo: 24 − 16 = 18 − 10
    • Propiedad: En una proporción aritmética siempre se cumple:
  • Ejemplo: 24 + 10 = 18 + 16

• Proporción Geométrica: Es la igualdad entre dos razones geométricas.

  • Donde:
    • a y c → antecedentes
    • b y d → consecuentes

  • Ejemplo:

    • Propiedad: En una proporción geométrica siempre se cumple:
  • Ejemplo: 18 × 10 = 6 × 30

Propiedades de la proporción geométrica

• Sea la proporción:

• Se cumple que:

  • Ejemplo: Transformar la siguiente proporción en una más simple:

Tipos de proporción

• Las proporciones aritméticas y geométricas pueden ser discretas y continuas.
• Ejemplos:

Problemas Resueltos

1. La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros están en la relación de 11; 7 y 54. Halle la razón aritmética de dichos números.
   • 
2. En un puesto de frutas se observa que por cada 5 naranjas hay 7 mandarinas y que por cada 5 mandarinas hay 3 papayas. Si en total hay 42 papayas, determine la cantidad total de frutas.
   • 

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• Se tiene:

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