Probabilidad y sucesos: ejercicios resueltos de ocio universitario, sucesos dependientes e independientes

Ejercicios resueltos de probabilidad

Ejercicio 8. Una encuesta recientemente realizada sobre las actividades de ocio de los alumnos universitarios revela que el 40% escucha música, el 35% juega a videojuegos, el 25% ve series online, el 12% escucha música y juega a videojuegos, el 10% escucha música y ve series, el 8% juega a videojuegos y ve series, el 4% realiza las tres actividades. Calcula las siguientes probabilidades:

Sean M = escucha música, V = juega a videojuegos y S = ve series online.

Datos:

• P(M) = 0,40; P(V) = 0,35; P(S) = 0,25
• P(M ∩ V) = 0,12; P(M ∩ S) = 0,10; P(V ∩ S) = 0,08
• P(M ∩ V ∩ S) = 0,04

a) Escucha música, pero no ve series.

P(M ∩ S̄) = P(M − S) = P(M) − P(M ∩ S) = 0,40 − 0,10 = 0,30 (30 %)

b) Escucha música o juega a videojuegos, pero no ve series.

P[(M ∪ V) ∩ S̄] = P(M ∪ V) − P[(M ∪ V) ∩ S]. Como M y V son sucesos compatibles:

P(M ∪ V) = P(M) + P(V) − P(M ∩ V) = 0,40 + 0,35 − 0,12 = 0,63

Aplicando “Otra regla relevante”: P[(M ∪ V) ∩ S] = P(M ∩ S) + P(V ∩ S) − P(M ∩ V ∩ S) = 0,10 + 0,08 − 0,04 = 0,14

Por tanto: P[(M ∪ V) ∩ S̄] = 0,63 − 0,14 = 0,49 (49 %)

c) Ve únicamente series. Aplicando “diferencia de 3 sucesos”:

P(M̄ ∩ V̄ ∩ S) = P(S) − P(M ∩ S) − P(S ∩ V) + P(M ∩ S ∩ V) = 0,25 − 0,10 − 0,08 + 0,04 = 0,11 (11 %)

d) Realizan dos de las tres actividades. Los tres casos son sucesos incompatibles entre sí, así que se suman (sin restar intersecciones):

• P(M ∩ V ∩ S̄) = P(M ∩ V) − P(M ∩ V ∩ S) = 0,12 − 0,04 = 0,08
• P(M̄ ∩ V ∩ S) = P(V ∩ S) − P(M ∩ V ∩ S) = 0,08 − 0,04 = 0,04
• P(M ∩ V̄ ∩ S) = P(M ∩ S) − P(M ∩ V ∩ S) = 0,10 − 0,04 = 0,06

Total: 0,08 + 0,04 + 0,06 = 0,18 (18 %)

e) No realiza ninguna de las tres actividades.

P(M̄ ∩ V̄ ∩ S̄) = 1 − P(M ∪ V ∪ S) = 1 − [P(M) + P(V) + P(S) − P(M ∩ V) − P(M ∩ S) − P(V ∩ S) + P(M ∩ V ∩ S)] = 1 − [0,40 + 0,35 + 0,25 − 0,12 − 0,10 − 0,08 + 0,04] = 1 − 0,74 = 0,26 (26 %)

f) Escucha música y no juega a videojuegos.

P(M ∩ V̄) = P(M) − P(M ∩ V) = 0,40 − 0,12 = 0,28 (28 %)

g) Juega a videojuegos o series, pero no música.

P[(V ∪ S) ∩ M̄] = P(V ∪ S) − P[(V ∪ S) ∩ M]

P(V ∪ S) = P(V) + P(S) − P(V ∩ S) = 0,35 + 0,25 − 0,08 = 0,52

Aplicando “Otra regla relevante”: P[(V ∪ S) ∩ M] = P(V ∩ M) + P(S ∩ M) − P(V ∩ S ∩ M) = 0,12 + 0,10 − 0,04 = 0,18

Por tanto: P[(V ∪ S) ∩ M̄] = 0,52 − 0,18 = 0,34 (34 %)

h) Realiza como máximo una de las tres actividades. “Como máximo una” significa una o ninguna:

P(M̄ ∩ V̄ ∩ S̄) ∪ P(M ∩ V̄ ∩ S̄) ∪ P(M̄ ∩ V ∩ S̄) ∪ P(M̄ ∩ V̄ ∩ S)

• P(M̄ ∩ V̄ ∩ S̄) = 0,26 (resultado del apartado e)
• P(M ∩ V̄ ∩ S̄) = P(M) − P(M ∩ V) − P(M ∩ S) + P(M ∩ V ∩ S) = 0,40 − 0,12 − 0,10 + 0,04 = 0,22 (diferencia de 3 sucesos)
• P(M̄ ∩ V ∩ S̄) = P(V) − P(V ∩ M) − P(V ∩ S) + P(M ∩ V ∩ S) = 0,35 − 0,12 − 0,08 + 0,04 = 0,19
• P(M̄ ∩ V̄ ∩ S) = 0,11 (resultado del apartado c)

Total: 0,26 + 0,22 + 0,19 + 0,11 = 0,78 (78 %)

i) ¿Qué porcentaje de los alumnos realiza solo una de las tres actividades?

P(M ∩ V̄ ∩ S̄) ∪ P(M̄ ∩ V ∩ S̄) ∪ P(M̄ ∩ V̄ ∩ S)

• P(M ∩ V̄ ∩ S̄) = P(M) − P(M ∩ V) − P(M ∩ S) + P(M ∩ V ∩ S) = 0,40 − 0,12 − 0,10 + 0,04 = 0,22
• P(M̄ ∩ V ∩ S̄) = P(V) − P(V ∩ M) − P(V ∩ S) + P(M ∩ V ∩ S) = 0,35 − 0,12 − 0,08 + 0,04 = 0,19
• P(M̄ ∩ V̄ ∩ S) = P(S) − P(S ∩ M) − P(S ∩ V) + P(M ∩ V ∩ S) = 0,25 − 0,10 − 0,08 + 0,04 = 0,11

Total: 0,22 + 0,19 + 0,11 = 0,52 (52 %)

Sucesos dependientes e independientes

Dos sucesos A y B son independientes si y sólo si P(A ∩ B) = P(A) · P(B) o bien, P(A/B) = P(A) o, de manera equivalente, P(B/A) = P(B). Si esto no se cumple, se dice que los sucesos A y B son dependientes.

Ejercicio 12. Extracción de bolas de una urna

Una urna contiene 20 bolas: 12 bolas rojas y 8 bolas azules. Se extraen 3 bolas al azar, sin reemplazamiento. Calcula las siguientes probabilidades.

Solución: Sean Rᵢ = la bola i es roja y Aᵢ = la bola i es azul, con i = 1, 2, 3. Se extraen 3 sin reemplazamiento, así que los sucesos son dependientes y se usa P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A). Cada extracción cambia el número de bolas que quedan.

a) La primera bola es roja y las otras dos son azules.

P(R₁ ∩ A₂ ∩ A₃) = P(R₁) · P(A₂/R₁) · P(A₃/R₁ ∩ A₂) = 12/20 · 8/19 · 7/18 = 672/6840 ≈ 0,0982 (9,82 %)

b) Se extrae solo una bola roja.

Hay tres casos posibles, según en qué extracción sale la roja:

• P(R₁ ∩ A₂ ∩ A₃) = 12/20 · 8/19 · 7/18 ≈ 0,0982
• P(A₁ ∩ R₂ ∩ A₃) = 8/20 · 12/19 · 7/18 ≈ 0,0982
• P(A₁ ∩ A₂ ∩ R₃) = 8/20 · 7/19 · 12/18 ≈ 0,0982

Son sucesos incompatibles, así que se suman: 0,0982 + 0,0982 + 0,0982 = 0,2947 (29,47 %)

c) Se extrae al menos una bola roja.

P(al menos una R) = 1 − P(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃) = 1 − (8/20 · 7/19 · 6/18) ≈ 0,9509 (95,09 %)

d) Las tres bolas son del mismo color.

• P(R₁ ∩ R₂ ∩ R₃) = 12/20 · 11/19 · 10/18 ≈ 0,1930
• P(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃) = 8/20 · 7/19 · 6/18 ≈ 0,0491

Suma: 0,1930 + 0,0491 = 0,2421 (24,21 %)

Ejercicio 14. Examen por temas

Un examen consiste en la exposición de un tema de tres elegidos al azar entre los 50 del temario. Si un alumno se ha preparado 30 temas, calcula las siguientes probabilidades: a) Solo se sabe el primero. b) Solo se sabe uno.

Solución: Sean Cᵢ = el alumno ha estudiado el tema i y C̄ᵢ = no lo ha estudiado, con i = 1, 2, 3. Datos: 50 temas, 30 preparados y 20 sin preparar. Se eligen 3 al azar, sin reemplazamiento, así que los sucesos son dependientes y se usa P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A).

a) P(C₁ ∩ C̄₂ ∩ C̄₃) = P(C₁) · P(C̄₂/C₁) · P(C̄₃/C₁ ∩ C̄₂) = 30/50 · 20/49 · 19/48 ≈ 0,0969 (9,69 %)

b) Hay tres casos posibles, según cuál de los tres temas es el que sabe:

• P(C₁ ∩ C̄₂ ∩ C̄₃) = 30/50 · 20/49 · 19/48 ≈ 0,0969
• P(C̄₁ ∩ C₂ ∩ C̄₃) = 20/50 · 30/49 · 19/48 ≈ 0,0969
• P(C̄₁ ∩ C̄₂ ∩ C₃) = 20/50 · 19/49 · 30/48 ≈ 0,0969

Son sucesos incompatibles, así que se suman: 0,0969 + 0,0969 + 0,0969 = 0,2908 (29,08 %)

Ejercicio 9. Venta de seguros

Un vendedor de seguros sabe que la probabilidad de que le contraten uno, cuando contacta con una persona, es de un 15 %. a) ¿Cuál es la probabilidad de que venda solo un seguro al contactar con tres personas? b) ¿Y la de que le hayan contratado alguno si ha contactado con cuatro personas?

Solución: Sea Cᵢ = la persona i contrata un seguro, con i = 1, 2, 3, 4. Datos: P(C) = 0,15 y P(C̄) = 1 − 0,15 = 0,85. La probabilidad es la misma para todas las personas y lo que haga una no influye en las demás, así que los sucesos son independientes. Por eso las intersecciones se calculan solo multiplicando.

a) Venda solo un seguro al contactar con tres personas. Hay tres casos posibles:

• P(C₁ ∩ C̄₂ ∩ C̄₃) = 0,15 · 0,85 · 0,85 = 0,108375
• P(C̄₁ ∩ C₂ ∩ C̄₃) = 0,85 · 0,15 · 0,85 = 0,108375
• P(C̄₁ ∩ C̄₂ ∩ C₃) = 0,85 · 0,85 · 0,15 = 0,108375

Son sucesos incompatibles, así que se suman: 0,108375 + 0,108375 + 0,108375 = 0,3251 (32,51 %)

b) Le hayan contratado alguno si ha contactado con cuatro personas. “Alguno” significa al menos uno. Se calcula con el complementario, que es que ninguna de las cuatro contrate:

P(C₁ ∪ C₂ ∪ C₃ ∪ C₄) = 1 − P(C̄₁ ∩ C̄₂ ∩ C̄₃ ∩ C̄₄) = 1 − 0,85⁴ = 1 − 0,5220 = 0,4780 (47,8 %)

Podría calcularse con la fórmula de la unión, pero para 4 sucesos habría que sumar 15 términos. Con el complementario basta una multiplicación.

c) Ninguno de los tres clientes contrate la tarjeta.

P(C̄₁ ∩ C̄₂ ∩ C̄₃) = 0,85 · 0,85 · 0,85 = 0,614125 (61,41 %)

Ejercicio 11. Matrícula en una academia de idiomas

Una academia de idiomas sabe que la probabilidad de que un alumno se matricule en un curso después de asistir a una sesión informativa es del 25 %. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de los tres alumnos que han asistido a la sesión informativa se matriculen? b) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres alumnos tomen la misma decisión con respecto a la matrícula?

Solución: Sea Mᵢ = el alumno i se matricula, con i = 1, 2, 3. Datos: P(M) = 0,25 y P(M̄) = 1 − 0,25 = 0,75. La decisión de uno no influye en la de los demás, así que los sucesos son independientes.

a) Exactamente dos de los tres alumnos se matriculen. Hay tres casos posibles:

• P(M₁ ∩ M₂ ∩ M̄₃) = 0,25 · 0,25 · 0,75 = 0,046875
• P(M₁ ∩ M̄₂ ∩ M₃) = 0,25 · 0,75 · 0,25 = 0,046875
• P(M̄₁ ∩ M₂ ∩ M₃) = 0,75 · 0,25 · 0,25 = 0,046875

Son sucesos incompatibles, así que se suman: 0,046875 · 3 = 0,140625 ≈ 0,1406 (14,06 %)

b) Los tres alumnos tomen la misma decisión. Hay dos casos posibles:

• Los tres se matriculan: P(M₁ ∩ M₂ ∩ M₃) = 0,25 · 0,25 · 0,25 = 0,015625
• Ninguno se matricula: P(M̄₁ ∩ M̄₂ ∩ M̄₃) = 0,75 · 0,75 · 0,75 = 0,421875

Son sucesos incompatibles, así que se suman: 0,015625 + 0,421875 = 0,4375 (43,75 %)

Ejercicio de cartas: exactamente dos de corazones

c) Exactamente dos de las tres cartas extraídas son de corazones. Hay tres casos posibles, según cuál de las tres cartas es de tréboles:

• P(C₁ ∩ C₂ ∩ T₃) = 30/50 · 29/49 · 20/48 ≈ 0,1480
• P(C₁ ∩ T₂ ∩ C₃) = 30/50 · 20/49 · 29/48 ≈ 0,1480
• P(T₁ ∩ C₂ ∩ C₃) = 20/50 · 30/49 · 29/48 ≈ 0,1480

Son sucesos incompatibles, así que se suman: 0,1480 · 3 = 0,4439 (44,39 %)