Pendientes Perpendiculares, Depreciación Lineal de un Tractor y Geometría de la Circunferencia: Ejercicios Resueltos

(B) (Z) (I) (U) (O) (T) (Ñ) (P) (W) (C)

Comprobar si la recta que pasa por A(2, 3) y B(5, -1) es perpendicular, paralela u oblicua a la recta que pasa por C(-4, -1) y D(0, 2).

Fórmula de la pendiente: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

1. Pendiente de la recta AB (m_AB): m_AB = (-1 - 3) / (5 - 2) = -4/3

2. Pendiente de la recta CD (m_CD): m_CD = (2 - (-1)) / (0 - (-4)) = (2 + 1) / (0 + 4) = 3/4

3. Comparación: m_AB · m_CD = (-4/3) · (3/4) = -12/12 = -1

   Resultado: -1. Las rectas son perpendiculares.

2. Problema del tractor (depreciación lineal)

Para x = 3 años, y = 80 000; para x = 7 años, y = 60 000.

Pendiente m: m = (60 000 - 80 000) / (7 - 3) = -20 000 / 4 = -5 000

a) Función que expresa el precio de venta y en función del tiempo x: Usando la ecuación y - y₁ = m(x - x₁):

y - 80 000 = -5 000(x - 3)
y - 80 000 = -5 000x + 15 000
y = -5 000x + 95 000

b) Precio de venta cuando estaba nuevo (x = 0): y = -5 000(0) + 95 000 = $95 000

c) Precio de venta a los 5 años de uso (x = 5): y = -5 000(5) + 95 000 = -25 000 + 95 000 = $70 000

d) Precio de venta a los 10 años de uso (x = 10): y = -5 000(10) + 95 000 = -50 000 + 95 000 = $45 000

e) ¿Cuánto varía su valor por año? Varía $5 000 por año, que corresponde a la pendiente m.

f) ¿En cuánto tiempo se podrá vender el tractor en $50 000?

50 000 = -5 000x + 95 000
5 000x = 95 000 - 50 000
5 000x = 45 000
x = 45 000 / 5 000 = 9 años

g) ¿En cuánto tiempo el tractor se deprecia por completo (y = 0)?

0 = -5 000x + 95 000
5 000x = 95 000
x = 95 000 / 5 000 = 19 años

h) Puntos para la gráfica:

• Nuevo: (0, 95 000)
• 3 años: (3, 80 000)
• 5 años: (5, 70 000)
• 7 años: (7, 60 000)
• 10 años: (10, 45 000)
• Totalmente depreciado: (19, 0)

3. Elementos de la circunferencia

• AB: Cuerda (o diámetro)
• PQ: Cuerda
• BOT: Ángulo central
• O: Centro
• TV: Recta tangente
• S: Punto de la circunferencia (o arco)

4. Geometría analítica de la circunferencia

Los extremos del diámetro son A(-4, 3) y B(4, -1).

Centro (h, k): h = (-4 + 4) / 2 = 0; k = (3 + (-1)) / 2 = 2 / 2 = 1. Centro (0, 1)

a) Radio (r): Distancia del centro (0, 1) al punto B(4, -1):
r = √[(4 - 0)² + (-1 - 1)²] = √(16 + 4) = √20 ≈ 4.47

b) Perímetro: P = 2πr = 2π(√20) ≈ 28.10 unidades

c) Área: A = πr² = π(√20)² = 20π ≈ 62.83 unidades²