Método de Milne para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden

Resumen

El texto presenta el método de Milne, un procedimiento numérico para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado con una condición inicial conocida. Explica cómo se aproxima el área bajo la curva de la derivada mediante una parábola de segundo grado que coincide con la curva en tres puntos. Se trata de una introducción al planteamiento del método, cuyo desarrollo completo no aparece en el fragmento.

Puntos clave

La ecuación diferencial es de primer orden y primer grado: y’=ƒ(x; y), con una solución inicial (x0; y0).
Se divide el área bajo un arco de la curva y’ en cuatro intervalos de amplitud h.
El área real se aproxima con franjas bajo una parábola de segundo grado que comparte tres puntos con la curva real.
Se consideran los puntos de abscisa xi–3, xi–2, xi–1, xi y xi+1.
Tomando xi–2=–h, xi–1=0 y xi=h se simplifican las expresiones sin perder generalidad.

Ponte a prueba

MÉTODO DE MILNE

Se tiene la ecuación diferencial de primer orden primer grado y’=ƒ(x; y), cuya solución inicial es (x0; y0). Se comienza por dividir el área bajo un arco de la curva y’ en cuatro intervalos de amplitud h. El área real bajo esta porción de curva se aproxima considerando el área de las cuatro franjas bajo una parábola de segundo grado, que tiene tres puntos en común con la curva real. Se consideran los puntos de abscisa xi–3; xi–2; xi–1; xi; xi+1. Haciendo coincidir el eje de las ordenadas con y’i–1 no se pierde generalidad y se simplifican las expresiones, resultando xi–2=–h; xi–1=0; xi=h. De esta manera, el área bajo la parábola esta dada por: Ecuación

Preguntas frecuentes

¿Qué tipo de ecuaciones resuelve el método de Milne?

El método se aplica a ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado de la forma y’=ƒ(x; y), partiendo de una solución inicial (x0; y0).

¿Por qué se usa una parábola de segundo grado en el método?

Porque una parábola de segundo grado puede pasar por tres puntos de la curva real, lo que permite aproximar con mayor precisión el área bajo ella.