Juegos bipersonales de suma cero y equilibrios de Nash: juegos estrictamente competitivos y matriciales

Propiedades de los Juegos Estrictamente Competitivos

Propiedad 1: En un juego estrictamente competitivo, se cumple π1(x, y) = π1(x', y') si y sólo si π2(x, y) = π2(x', y') ∀x, x' ∈ X1, ∀y, y' ∈ X2.

Propiedad 2: En un juego estrictamente competitivo, se cumple π1(x, y) > π1(x', y') si y sólo si π2(x, y) < π2(x', y') ∀x, x' ∈ X1, ∀y, y' ∈ X2.

Propiedad 3: Todo par de estrategias (x, y), y en particular los Equilibrios de Nash (E.N.), es Pareto óptimo.

Demostración: Dado (x, y) arbitrario, no puede haber ningún otro (x', y') que cumpla las desigualdades πi(x', y') > πi(x, y), i = 1, 2.

Equilibrio de Nash en Juegos Estrictamente Competitivos

Propiedad 4: Si (x, y) es un E.N. de un juego estrictamente competitivo, entonces se verifica:

1. π1(x, y) > π1(x', y) ∀x' ∈ X1 (condición de E.N. para el primer agente), y
2. π2(x, y) > π2(x, y') ∀y' ∈ X2 (condición de E.N. para el segundo agente),

Y, por ser el juego estrictamente competitivo, también se verifica:

3. π2(x, y) ≤ π2(x', y) ∀x' ∈ X1, y
4. π1(x, y) ≤ π1(x, y') ∀y' ∈ X2.

Propiedades Adicionales de los Equilibrios de Nash

Propiedad 5: Si (x1, y1) y (x2, y2) son dos E.N. de un juego estrictamente competitivo, entonces:

1. Igualdad de Pagos: πi(x1, y1) = πi(x2, y2), i = 1, 2, es decir, cada jugador recibe el mismo pago en ambos E.N.

Demostración:

Supongamos que π2(x1, y1) ≤ π2(x2, y2), ya que el caso en que π2(x1, y1) > π2(x2, y2) es simétrico.

Entonces π2(x2, y2) > π2(x1, y1) > π2(x1, y2) > π2(x2, y2). Y, por lo tanto, π2(x1, y1) = π2(x2, y2), y, por ser el juego estrictamente competitivo, también es π1(x1, y1) = π1(x2, y2).

Demostración:

Veamos que (x1, y2) es E.N.

(x1, y2) cumple la condición de E.N. para el jugador 2 porque π2(x1, y2) ≥ π2(x2, y2) = π2(x1, y1) ≥ π2(x1, y) ∀y ∈ X2.

(x1, y2) cumple la condición de E.N. para el jugador 1 porque π1(x1, y2) ≥ π1(x1, y1) = π1(x2, y2) ≥ π1(x, y2) ∀x ∈ X1.

Análogamente, se demuestra que (x2, y1) es E.N.

(x2, y1) cumple la condición de E.N. para el jugador 2 porque π2(x2, y1) ≥ π2(x1, y1) = π2(x2, y2) ≥ π2(x2, y) ∀y ∈ X2.

(x2, y1) cumple la condición de E.N. para el jugador 1 porque π1(x2, y1) ≥ π1(x2, y2) = π1(x1, y1) ≥ π1(x, y1) ∀x ∈ X1.

Juegos de Suma Cero

Definición: Un juego bipersonal, en forma estratégica, estático y de información completa, es de suma cero si π1(x, y) + π2(x, y) = 0 ∀x ∈ X1, ∀y ∈ X2.

Propiedad 6: Todo juego de suma 0 es estrictamente competitivo.

Demostración: Por tratarse de un juego de suma 0, se cumple que para cada x, x' ∈ X1, y, y' ∈ X2, π1(x, y) ≥ π1(x', y') si y sólo si -π2(x, y) ≥ -π2(x', y'), equivalente a π1(x, y) > π1(x', y') si y sólo si π2(x, y) < π2(x', y').

Juegos de Suma Constante

Definición: Un juego bipersonal en forma estratégica, (I = {1, 2}, X = X1 × X2, π = (π1, π2)), estático y de información completa, se dice que es de suma constante si π1(x, y) + π2(x, y) = k, donde k ∈ R está prefijado, para cualesquiera x ∈ X1, y ∈ X2.

Juegos Matriciales

Definición: Los juegos finitos bipersonales de suma 0 se llaman juegos matriciales.

Dominancia de Estrategias en Juegos Matriciales

Definición: En un juego matricial:

1. Una estrategia pura para el agente 1, sk, domina (débilmente) a otra estrategia pura sj si la fila k-ésima de la matriz de pagos (πij) domina a la fila i-ésima en el sentido de que πkj ≥ πij para todo j = 1, ..., m, y además πkj > πij para algún j'.
2. Una estrategia pura para el agente 2, tk, domina (débilmente) a otra estrategia pura ti si la columna k-ésima de la matriz de pagos (πij) domina a la columna i-ésima en el sentido de que πik ≤ πij para todo i = 1, ..., n, y además πi'k < πij para algún i'.
3. Una estrategia pura para el agente 1, sk, domina estrictamente a otra estrategia pura sl si la fila k-ésima de la matriz de pagos (πij) domina estrictamente a la fila l-ésima en el sentido de que πkj > πlj para todo j = 1, ..., m.
4. Una estrategia pura para el agente 2, tk, domina estrictamente a otra estrategia pura tl si la columna k-ésima de la matriz de pagos (πij) domina estrictamente a la columna l-ésima en el sentido de que πik < πil para todo i = 1, ..., n.

Teorema Fundamental de Juegos Matriciales

Teorema: En un juego matricial, un par de estrategias es E.N. exactamente cuando está asociado a un punto de silla en la matriz de pagos.

Demostración: El que el valor del juego α sea máximo de su columna equivale a que el agente 1 no tenga incentivos para cambiar unilateralmente su estrategia, y el que α sea mínimo de fila equivale a que el agente 2 no tenga incentivos para cambiar unilateralmente su estrategia.

Como consecuencia, un juego matricial tiene E.N. en estrategias puras si y sólo si max [min πij] = min [max πij].

Juegos Matriciales Simétricos

Definición: Un juego matricial se dice simétrico si viene definido por una matriz de pagos cuadrada (n = m) para el agente 1, denotada A, que cumple πij = -πji ∀i, j = 1, ..., n.