Armónicos esféricos de la Tierra y teorema de la divergencia (Gauss)

Resumen

El texto explica cómo surgen los armónicos esféricos de la Tierra al calcular la gravedad, a partir de momentos de primer y segundo grado y la elección del origen en el centro de gravedad. Después introduce el teorema de la divergencia, el flujo de un campo vectorial a través de una superficie y su relación con la divergencia en el volumen encerrado, conocida como teorema de Gauss.

Puntos clave

Los momentos de primer grado (a, b, c) se anulan si el origen está en el centro de gravedad, por lo que conviene situar allí el sistema de referencia.
Si los ejes coinciden con el sistema principal de inercia, las integrales XY, XZ e YZ se anulan; estos componentes se llaman armónicos prohibidos o inadmisibles.
El factor de forma dinámico J20 depende de los incrementos de los momentos de inercia en los polos y el ecuador, y es un indicador clave del aplanamiento terrestre.
Los componentes J22 y K22 representan la asimetría de las masas terrestres respecto al eje de rotación.
El flujo total de un campo F a través de una superficie S se expresa como Φ = ∫∫ F · dS, donde dS es el vector normal.
La divergencia cuantifica el flujo saliente de un campo vectorial a través de un volumen.
Teorema de Gauss: el flujo saliente a través de una superficie cerrada es igual a la integral de la divergencia del campo en el volumen encerrado.

Ponte a prueba

Armónicos Esféricos de la Tierra: Fundamentos y Aplicaciones Geofísicas

Los armónicos esféricos de la Tierra surgen al calcular la fuerza de la gravedad. Para su determinación, se calcula la integral completa de la Tierra, combinando la integral global con la obtenida por su normalización.

Los parámetros obtenidos deben ser interpretados en el contexto de la física que estudia el movimiento de los sólidos rígidos. Las expresiones para los momentos de primer grado son:

a = (1/m) ∫∫∫ x dM
b = (1/m) ∫∫∫ y dM
c = (1/m) ∫∫∫ z dM

Si las coordenadas coinciden con el origen del sistema de referencia, situado en el centro de gravedad, la integral de primer grado se anula. Por lo tanto, es fundamental elegir el origen de nuestro sistema de referencia en dicho centro de gravedad.

Si los ejes de coordenadas coinciden con el sistema principal de inercia (por ejemplo, el eje Z alineado con el eje de rotación), los componentes de segundo y tercer grado de las siguientes integrales se anularían:

∫∫∫ XY dM
∫∫∫ XZ dM
∫∫∫ YZ dM

Los componentes que se anulan en esta primera aproximación se conocen como armónicos prohibidos o inadmisibles.

En resumen, el significado físico de los primeros parámetros describe adecuadamente el comportamiento dinámico del sólido rígido, revelando que ciertos componentes se anulan. Sin embargo, la obtención de parámetros posteriores se vuelve una tarea compleja, lo que sugiere la necesidad de explorar metodologías alternativas.

Para superar esta dificultad, se busca obtener los armónicos fuertemente normalizados. A través de ellos, se determina el factor de forma dinámico (J20), que depende de los incrementos de los momentos de inercia en los polos y el ecuador, y que es un indicador clave del aplanamiento de la Tierra.

Los componentes J22 y K22, por su parte, representan la asimetría de las masas terrestres respecto al eje de rotación.

Teorema de la Divergencia: Conceptos y Aplicaciones en Campos Vectoriales

Dado un campo vectorial F = F(x, y, z) y una superficie S, se define el elemento de flujo dφ del campo F a través de la superficie S en el contorno de un punto P de la misma.

El flujo total del campo F se representa por la siguiente expresión, donde dS es el vector normal a la superficie:

Φ = ∫∫_S F ⋅ dS

Para el cálculo del flujo a través de un volumen, es necesario fragmentar la figura en elementos más simples, como:

N1 = dx dy k
N2 = dx dz j
N3 = dz dy i

Otro método de cálculo es mediante la derivada direccional, lo que genera la siguiente expresión para la divergencia:

dΦ = ∫∫∫_V div F dv

Su definición es la cuantificación del flujo saliente de un campo vectorial a través de un volumen.

El Teorema de Gauss

El Teorema de Gauss asocia estas dos expresiones, estableciendo que:

La cantidad de flujo saliente de un campo vectorial a través de una superficie cerrada es igual a la integral de la divergencia (o cantidad de flujo saliente) del campo vectorial en el volumen encerrado por dicha superficie.

Preguntas frecuentes

¿Qué es el factor J20 en los armónicos esféricos de la Tierra?

J20 es el factor de forma dinámico, que depende de los incrementos de los momentos de inercia en los polos y el ecuador. Es un indicador clave del aplanamiento de la Tierra.

¿Qué establece el Teorema de Gauss?

Establece que el flujo saliente de un campo vectorial a través de una superficie cerrada es igual a la integral de la divergencia del campo en el volumen que encierra esa superficie.

¿Por qué se eligen los ejes en el sistema principal de inercia?

Porque si el eje Z coincide con el eje de rotación, los componentes XY, XZ e YZ se anulan, lo que simplifica el cálculo de los armónicos.