Maxima: Guía de Cálculo con Funciones, Límites, Derivadas e Integrales
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1. Funciones
f(x):=x^2+3*x-1; /* Definir función */
f(2); /* Calcular valor */
solve(f(x)=0,x); /* Resolver ecuación */
plot2d(f(x),[x,-5,5]); /* Dibujar gráfica */
factor(expresión); /* Factorizar */
expand(expresión); /* Desarrollar */
ratsimp(expresión); /* Simplificar */
subst(x=2,f(x)); /* Sustituir x por 2 */
2. Límites
limit(f(x),x,2); /* Límite en un punto */
limit(f(x),x,inf); /* Límite en +infinito */
limit(f(x),x,minf); /* Límite en -infinito */
limit(f(x),x,2,minus); /* Límite por la izquierda */
limit(f(x),x,2,plus); /* Límite por la derecha */
3. Continuidad
f(2); /* Valor de la función */
limit(f(x),x,2); /* Límite */
limit(f(x),x,2,minus); /* Límite izquierdo */
limit(f(x),x,2,plus); /* Límite derecho */
Es continua si el límite existe y coincide con el valor de la función.
4. Derivadas
diff(f(x),x); /* Primera derivada */
diff(f(x),x,2); /* Segunda derivada */
diff(f(x),x,3); /* Tercera derivada */
subst(x=2,diff(f(x),x)); /* Derivada en x=2 */
5. Recta tangente
f(x):=x^2;
m:subst(x=2,diff(f(x),x));
y=f(2)+m*(x-2);
m es la pendiente de la recta tangente en x=2.
6. Bolzano y raíces
solve(f(x)=0,x); /* Buscar raíces */
find_root(f(x),x,1,3); /* Aproximar una raíz entre 1 y 3 */
Para Bolzano, comprobar que la función es continua y que cambia de signo en los extremos.
7. Comandos importantes
- inf = infinito positivo.
- minf = infinito negativo.
- minus = por la izquierda.
- plus = por la derecha.
- ; = ejecutar comando.
- : = asignar un valor.
- := = definir una función.
8. Primitivas e integrales indefinidas
/* Integral indefinida */
integrate(f(x), x);
/* Ejemplos */
integrate(x^3, x);
integrate(sin(x), x);
integrate(exp(x), x);
integrate(1/x, x);
/* Derivada: comprobar una primitiva */
diff(F(x), x);
/* Simplificar resultados */
ratsimp(expr);
factor(expr);
expand(expr);
9. Integrales definidas
/* Integral entre a y b */
integrate(f(x), x, a, b);
/* Ejemplo */
integrate(2*x, x, 0, 2);
/* Calcular primero la primitiva */
F(x) := integrate(f(x), x);
/* Teorema fundamental: F(b)-F(a) */
subst(b, x, F(x)) - subst(a, x, F(x));
10. Sustitución
/* Sustituir una expresión por otra */
subst(u, x^2+1, expr);
/* Ejemplo de sustitución u=x^2+1: integral 2*x*(x^2+1)^3 dx */
integrate(2*x*(x^2+1)^3, x);
/* Derivar la sustitución u para obtener du */
diff(u(x), x);
11. Integración por partes
/* Fórmula: integral u*dv = u*v - integral v*du */
/* Ejemplo: integral x*exp(x) dx */
integrate(x*exp(x), x);
/* Derivar u y calcular la integral de dv */
diff(u(x), x);
integrate(dv(x), x);
12. Sumatorios y sumas de Riemann
/* Sumatorio */
sum(expr, i, 1, n);
/* Incremento del intervalo */
dx : (b-a)/n;
/* Suma de Riemann por extremos derechos */
sum(f(a+i*dx)*dx, i, 1, n);
/* Límite cuando n tiende a infinito */
limit(sum(f(a+i*(b-a)/n)*(b-a)/n, i, 1, n), n, inf);
13. Teorema del valor medio para integrales
/* Valor medio de f en [a,b] */
integrate(f(x), x, a, b)/(b-a);
/* Resolver f(c)=valor medio */
solve(f(c)=integrate(f(x), x, a, b)/(b-a), c);
14. Área entre dos curvas
/* Si f(x) está por encima de g(x) */
integrate(f(x)-g(x), x, a, b);
/* Ejemplo */
integrate((x+2)-x^2, x, 0, 1);
/* Si las curvas se cruzan, hallar intersecciones */
solve(f(x)=g(x), x);
15. Volumen por discos
/* Giro alrededor del eje X */
%pi*integrate(f(x)^2, x, a, b);
/* Giro alrededor del eje Y si se expresa el radio como una función de y */
%pi*integrate(g(y)^2, y, c, d);
16. Volumen por arandelas
/* Radio exterior R y radio interior r */
%pi*integrate(R(x)^2-r(x)^2, x, a, b);
/* Si el radio interior es cero, usar discos */
17. Volumen por capas cilíndricas
/* Giro alrededor del eje Y: radio x, altura f(x)-g(x) */
2*%pi*integrate(x*(f(x)-g(x)), x, a, b);
/* Forma general: 2*pi*integral(radio*altura) */
18. Volumen con secciones transversales
/* Si el área de cada sección es A(x) */
integrate(A(x), x, a, b);
/* Si las secciones son cuadrados de lado s(x) */
integrate(s(x)^2, x, a, b);
/* Si son discos de radio r(x) */
%pi*integrate(r(x)^2, x, a, b);
/* Si son triángulos de base b(x) y altura h(x) */
integrate(b(x)*h(x)/2, x, a, b);
19. Longitud de arco
/* Longitud de y=f(x) entre a y b */
integrate(sqrt(1+(diff(f(x),x))^2), x, a, b);
/* Si la curva está expresada como x=g(y) */
integrate(sqrt(1+(diff(g(y),y))^2), y, c, d);
20. Superficie de revolución
/* Giro de y=f(x) alrededor del eje X: radio = f(x) */
2*%pi*integrate(f(x)*sqrt(1+(diff(f(x),x))^2), x, a, b);
/* Fórmula general */
2*%pi*integrate(r(x)*sqrt(1+(diff(f(x),x))^2), x, a, b);
21. Masa y centro de masa
/* Lámina entre f(x) y g(x), densidad constante rho */
m : rho*integrate(f(x)-g(x), x, a, b);
/* Momento respecto al eje X */
Mx : rho*integrate(((f(x)+g(x))/2)*(f(x)-g(x)), x, a, b);
/* Momento respecto al eje Y */
My : rho*integrate(x*(f(x)-g(x)), x, a, b);
/* Coordenadas del centro de masa */
xbar : My/m;
ybar : Mx/m;
/* Centroide: si la densidad es uniforme, rho se cancela en las coordenadas */
22. Integrales impropias
/* Límite superior infinito */
integrate(f(x), x, a, inf);
/* Límite inferior menos infinito */
integrate(f(x), x, minf, b);
/* Ejemplo convergente: integral de 1/x^2 desde 1 hasta infinito */
integrate(1/x^2, x, 1, inf);
/* Comprobar un límite */
limit(F(x), x, inf);
/* Comprobar el límite cuando x tiende a un punto */
limit(F(x), x, a, plus);
/* Límite por la izquierda */
limit(F(x), x, a, minus);
23. Integración numérica
/* Cargar herramientas de integración numérica */
load(quadpack);
/* Aproximar una integral definida */
quad_qags(f(x), x, a, b);
/* Ejemplo */
quad_qags(exp(-x^2), x, 0, 1);
/* Aproximación decimal de una expresión */
float(expr);
24. Regla del trapecio
/* Aproximación con n subintervalos */
h : (b-a)/n;
/* Fórmula compuesta del trapecio */
T : h*(f(a)/2 + sum(f(a+i*h), i, 1, n-1) + f(b)/2);
/* Resultado numérico */
float(T);
25. Resolver ecuaciones y hallar límites
/* Resolver una ecuación */
solve(ecuacion, x);
/* Resolver un sistema de ecuaciones */
solve([ecuacion1, ecuacion2], [x, y]);
/* Hallar puntos de intersección */
solve(f(x)=g(x), x);
/* Calcular un límite */
limit(expr, x, a);
/* Límite en infinito */
limit(expr, x, inf);
26. Gráficas para ver las funciones
/* Dibujar una función */
plot2d(f(x), [x, a, b]);
/* Dibujar dos funciones juntas */
plot2d([f(x), g(x)], [x, a, b]);