El desarrollo del pensamiento Lógico-matemático.

Los conceptos Matemáticos

-Los conceptos matemáticos constituyen un tipo especial dentro de los conceptos formales: Son generalizaciones de las relaciones entre cierta clase de “datos”, haciendo abstracción total de los objetos y fenómenos particulares en que se presentan.

-Los conceptos matemáticos no pueden lograrse únicamente por la acción directa del entorno cotidiano, sino solamente de manera indirecta desde otros conceptos que ya se hayan alcanzado.

Estas características especiales de los conceptos matemáticos les hace, en alto grado, dependientes de los maestros o maestras, de su didáctica concreta y de la observación atenta, activa y muy experimental con que responda el niño o la niña.

En la adquisición de los conceptos matemáticos, intervienen de modo claro y evidente, los factores siguientes:

-* Es más sencillo descubrir un concepto simple (triángulo)

-concepto compuesto (triángulo verde más triángulo verde grande).

-* Cuanto mayor es el número de características irrelevantes o distractores presentados (otras formas, colores, tamaños, etc.), más difícil resulta la adquisición deun concepto.

* Cuanto mayor es el número de características irrelevantes o distractores presentados (otras formas, colores, tamaños, etc.), más difícil resulta la adquisición de un concepto.

* En las primeras edades y niveles conviene un bajo número de distractores, pero a medida que el concepto se vaya consolidando es útil ampliar el número de distractores, para que el niño y la niña consigan extraer las propiedades conceptuales con una mayor independencia de cada caso concreto e, incluso, del mismo maestro o maestra.

* Para ayudar al niño y niña a desarrollar los conceptos matemáticos es necesario enseñarles el lenguaje de la matemática, sus relaciones, sus procedimientos, sus métodos, su lógica, sus símbolos propios, su operatividad y cálculo, etc.

* Hay variables difíciles de controlar porque están relacionadas con el mismo niño o niña, y que influyen en la adquisición de estos conceptos.

* Cuanta mayor sea la capacidad discriminatoria del niño y de la niña, respecto de las características relevantes, más fácil será la adquisición del concepto.

* Se mejorará la adquisición de los conceptos conjuntivos (grande “y” amarillo) mediante la presentación inicial de ejemplares positivos.

* Se mejora la adquisición de los conceptos disyuntivos (grande “o” amarillo) mediante la presentación inicial de ejemplares negativos, o mediante la alternancia de ejemplares negativos y positivos.

* La manipulación, experimentación y observación activa son base imprescindible para la adquisición de los conceptos matemáticos, en general, y de modo muy particular en Educación Infantil.

conceptos matemáticos básicos para ser trabajados asiduamente en la etapa de Educación Infantil

son:

* Concepto de objeto-materia:

- A través de relaciones: niño-demás niños.

- A través de relaciones: niño-objeto.

- A través de relaciones: objeto-objeto.

* El razonamiento lógico:

- Se irá desarrollando en el niño, de modo globalizado, al tratar los conceptos anteriores.

- Sobre todo, a través de relaciones: objeto-objeto.

- Se apoyará, fundamentalmente, en las acciones sobre las colecciones y agrupamientos de objetos.

- Tendrá su mejor ayuda en la maduración personal del niño y de la niña, a lo largo de la etapa de Educación Infantil.

* Concepto de número, con:

- Sus agrupaciones y significado.

- Sus aspectos: cardinal y ordinal, al realizar clasificaciones y seriaciones. - Sus operaciones y aritmética.

- Sus aplicaciones a la vida real.

* Conceptos sobre espacio y geometría:

- Mediante percepciones y representaciones.

- Mediante análisis de posiciones de puntos, líneas, objetos, etc.

- A través de movimientos rígidos, donde las propiedades métricas de los cuerpos permanecen constantes (lados, ángulos, paralelismo, perpendicularidad, etc.): espacio euclidiano.

- A través de transformaciones proyectivas, donde las propiedades de los cuerpos sufren deformaciones que dependen de la posición relativa del objeto y su transformado (sombras, etc.): espacio proyectivo.

- A través de transformaciones topológicas, donde los cuerpos sufren deformaciones tan violentas que se pierden las propiedades métricas y proyectivas (proximidad, separación, encerramiento o clausura, orden o sucesión espacial, continuidad, etc.) sin llegar al rompimiento: espacio topológico.

- Hoy se estima que los primeros conceptos infantiles sobre el espacio son de carácter topológico.

* Concepto de longitud, superficie y capacidad/volumen:

- A través de comparaciones y relaciones.

- A través de la medida de objetos reales.

- Mediante el uso de unidades convencionales diversas.

- Mediante el uso de unidades de sistemas ya establecidos.

* Concepto de tiempo:

- A través de estímulos sucesivos.

- A través de estímulos continuos que cesan.

- Mediante comparación de estímulos continuos.

- Realizando medidas de tiempo real y su expresión en unidades.

* Concepto de peso:

- A través de comparaciones sistemáticas.

- A través de clasificaciones.

- A través de ordenaciones.

- Realizando medidas sin unidades patrón (con arena, etc.).

- Realizando medidas con unidades patrón.

La iniciación Matemática en educación Infantil.

Para un mejor análisis de la iniciación matemática en el niño y niña de cero a seis años necesitamos partir de los siguientes supuestos de la matemática:

* La matemática es una materia en la que menos se puede prescindir de un iniciador, porque está constituida por unos conocimientos y procedimientos a los que difícilmente se accede sin la guía de un buen maestro o maestra en ellos.

* La matemática exige un esfuerzo mental añadido, porque desemboca siempre en actividades mentales que exigen un alto grado de abstracción, pues, aunque de cero a seis años hay que partir siempre de lo concreto, la intención debe ser superarlo y buscar en ello lo general.

* Precisamente, por desembocar en lo general y recorrer el camino de la abstracción, la matemática:

- Se construye esquemáticamente, formal y sistemáticamente.

- Se organiza a partir de axiomas.

Se decanta y se comunica mediante lenguajes y códigos especiales, como son: los símbolos, las figuras, los diagramas, los algoritmos, las estructuras, etc.

* La matemática es una materia sumamente acumulativa. Unas actividades exigen otras previas, lo cual requiere comprensión lógica y memoria comprensiva de los contenidos anteriores. Es decir, saber razonar y saber aplicar los conceptos o los procedimientos en acción.

* El alto valor formativo de la matemática viene probado por los efectos siguientes:

a) En el ámbito de la formación intelectual, la matemática nos enseña:

- A reflexionar sobre las situaciones.

- A considerar y aislar lo esencial de lo accesorio.

- A desarrollar el juicio, distinguiendo lo probado, demostrado y cierto, de lo posible y de lo imposible o falso.

- A organizar el pensamiento, ordenando las ideas, elaborando esquemas, realizando consecuencias y distinguiendo medios, causas y efectos.

- A formar el espíritu científico en sus vertientes de: objetividad, exactitud, precisión y espíritu crítico.

b) En el ámbito de la formación moral y estética, la matemática fomenta:

- La necesidad de rigor, de discernimiento y de claridad en la verificación de pruebas, así como la discusión formativa.

- El gusto por el orden, la concisión, la exactitud y la verdad.

- El habito de conocer, indagar y comprender los principios de las cosas.

- El descubrimiento y la sensibilización por la belleza de las formas y la organización en la naturaleza y en la técnica.

- El habito de la aceptación del mejor criterio probado y la constatación irrefutable del acierto.

* La matemática fuerza a plantearse diversidad de requerimientos según el tipo de alumno o alumna, pues unos son más lentos y otros más rápidos en sus diversas actuaciones matemáticas, lo cual exige una metodología fina y apropiada para cada niño, niña o grupo de niños y niñas.

* La matemática, como el lenguaje, es una actividad en la que los niños y niñas se desenvuelven con normalidad, si ponemos a su disposición los medios oportunos par una correcta iniciación. No obstante su práctica asidua en la vida, quizá sea la matemática uno de los símbolos donde más errores se cometen.

* El niño y niña son sensibles al mundo de las matemáticas. En todo lo que crean y en lo que hacen tienen presente el mundo de los números. Su manera de ser y su modo de comportarse les empujan hacia el cálculo:

- Su sentido de la propiedad.

- Su afán por el coleccionismo.

- Su gusto por repetir.

- Su deseo de observar.

- Su necesidad de ordenar.

- Y hasta el uso que ellos hacen como soportes formales en sus juegos.Principios didácticos para la iniciación matemática en Educación Infantil

Lograr una motivación adecuada es fundamental para el proceso didáctico en

Educación Infantil. Se puede lograr más fácilmente que el niño y niña se sientan motivados:

* Si se atribuye sentido a lo que se les pide que hagan.

* Si hay una distancia óptima entre lo que saben y lo que se propone como nuevo. * Si tienen la cantidad y calidad de ayuda pedagógica necesaria y suficiente.

* Si el error se utiliza como fuente de aprendizaje y no tanto como algo negativo que es necesario eliminar, sin más.

Los contenidos de enseñanza y aprendizaje deben partir siempre de experiencias directas, de este modo:

- Experiencias con materiales manipulativos concretos.

- Experiencias que partan del juego según el tipo que corresponda, juego de ejercicio, simbólico o de reglas, conforme veremos en su momento oportuno.

- Experiencias con procedimientos y acciones bien organizadas, según pautas muy claras que dirijan la actuación de cada niño y niña.

- Experiencias que sigan un orden de prioridades para mejor lograr la construcción y significación de los conceptos matemáticos que correspondan.

En la toma de contacto de cada niño y cada niña con la experiencia será necesario conseguir lo siguiente:

* Alcanzar el conocimiento de los objetos y sus cualidades o atributos.

* Realizar el descubrimiento de lo esencial, según sus posibilidades.

* Lograr la generalización y abstracción conceptuales propias.

Toda experiencia con materiales manipulativos curriculares debe seguir el método del descubrimiento, lo cual exige cumplir los “principios básicos del aprendizaje de la matemática” que son los siguientes:

* Principio de constructividad: La construcción, la manipulación, el juego, deberá ser siempre el primer contacto con las realidades matemáticas, pues el niño y niña ven y entienden por las manos.

* Principio dinámico: El aprendizaje va, de la experiencia a la categorización,

mediante ciclos que se suceden regularmente.

* Principio de variabilidad perceptiva: Para abstraer una estructura matemática debemos encontrarla en situaciones diferentes. Esto exige la utilización de diversidad de materiales manipulativos sobre los mismos contenidos lógicos y matemáticos que trabajemos.

* Principio de variabilidad matemática: Cada concepto envuelve distintas variables esenciales. Para alcanzar la completa generalización del concepto es necesario trabajar con cada una de estas variables de modo independiente, dejando las demás variables constantes.

El proceso para que los principios anteriores logren la formación del pensamiento

abstracto-simbólico.

Para lograr una abstracción coordinada con sus diferentes tipos, deberá seguirse este orden, de acuerdo con su complejidad creciente:

1º Abstracción física.

Realizada como proceso mental que permite extraer una característica física concreta entre diferentes y variados objetos.

2º Abstracción funcional.

Realizada como proceso mental que permite extraer una misma característica funcional entre diferentes y variados objetos.

3º Abstracción lógico-matemática.

Realizada como proceso mental que permite establecer relaciones de tipo

lógico-matemático entre diferentes y variados objetos.

4º Abstracción inclusiva.

Realizada como proceso mental que permite extraer una misma característica fundamental entre diferentes y variados objetos por el hecho de estar todos ellos incluidos en un concepto superior.

Metodología para una correcta iniciación matemática en educación infantil.

Como consecuencia de todo lo dicho hasta aquí y con el fin de realizar una correcta iniciación matemática debemos tener en cuenta, metodológicamente, cuanto sigue:

1) La correcta iniciación en la matemática y su aprendizaje sistemático se inscriben dentro de los derechos del alumno, que necesariamente ha de satisfacer la escuela desde los primeros niveles.

Esta corrección exige su iniciación desde los comienzos educativos, pues su encaje posterior sufriría decisivamente si no se hace a su tiempo.

Hay momentos educativos que, una vez “pasados”, ya no logran recuperarse nunca.

2) La iniciación matemática, al igual que la iniciación a la lectoescritura, deberá realizarse, al menos, con tanto cuidado, atención y celo, como se hace con otrosritos sociales de iniciación.

3) La iniciación matemática realizada correctamente, de modo constructivo y significativo, debe poner las bases para que el niño y niña:

- Se apropien de las invenciones que han costado miles de años a la humanidad.

- Puedan manejar todo el tesoro científico, técnico, etc., acumulado a lo largo del tiempo.

4) La iniciación matemática ha de ser una construcción mental vivida y experimentada paso a paso.

Para conseguirlo con normalidad:

-Debe esta básicamente motivada mediante los materiales manipulativos curriculares, apropiados a tal fin.

-Debe ser fuertemente motivadora, estando conectada con la realidad que se vive, a través de las actividades oportunas.

-Debe lograr una progresiva asunción de los conceptos matemáticos, de modo que se consiga un creciente nivel de dominio de ellos sobre la vida.

5) Además, durante el desarrollo de toda la iniciación matemática se deberá tener siempre muy en cuenta que:

- Se ha de cultivar el razonamiento lógico desde la base.

- No se deberá favorecer el culto a la buena y rápida respuesta, sin más.

- Se debe aprovechar los errores de los niños y niñas como fuente de aprendizaje para descubrir:

• Las sub-lógicas operantes.
• El fallo en el proceso realizado.
• El punto en que se inició la desviación del razonamiento correcto.

- Se debe analizar, también, la actuación del educador o educadora en el proceso de enseñanza/aprendizaje, comprobando:

• La motivación lograda.
•  El vocabulario empleado.
•  La presentación, el tratamiento y el manipulado de los materiales curriculares y didácticos frente a los niños y niñas.
•  El diseño, calidad, acomodación, ordenación y cantidad de las actividades propuestas.
•  El establecimiento concreto de las situaciones problemáticas o de aplicabilidad a la vida.

6) Es necesario evitar una excesiva mitificación de los términos que se usan en la iniciación matemática.

Trabajar la matemática, ciertamente, que va a obligar al niño y niña a aprender muchas palabras nuevas.

El camino a seguir en la iniciación de estos términos nuevos será ofrecerlos:

• En contextos muy significativos.
• Con la intensidad oportuna.
• Con la extensión conveniente. Con la insistencia necesaria para que cada niño y niña los asimile correctamente.
•  Se hará del mismo modo que con otras palabras, como: clase, recreo, compañero, compañera, etc., que los niños o niñas no suelen conocer hasta que no vienen al colegio y que, sin necesidad de explicaciones especiales, las van incorporando correctamente a su vocabulario.

7) En la iniciación matemática, se podrán saltar fases previas y se podrán seguir ritmos más o menos lentos/rápidos, según lo vaya exigiendo cada niño y niña. Todo esto hace conveniente plantear una metodología a través de procesos muy bien agrupados, donde cada “escalón” esté diferenciado del anterior por un solo aspecto propio.

Así, en el escalón didáctico en el que el niño y niña no avancen podrá estudiarse la dificultad típica y concreta que presenta, y solucionarla de manera específica.

8) La metodología para una iniciación matemática correcta, teniendo en cuenta las bases de la Educación Infantil y de acuerdo con los supuestos anteriores, deberá ser:

* Globalizada, por cuanto se refiere al modo de programar los contenidos el educador o educadora.

* Globalizante, en clara referencia al modo de actuar el educador o educadora en todo momento.

* Globalizadora, respecto al modo de percibir cada niño y niña la enseñanza recibida.

9) Por su carácter globalizador, la etapa de Educación Infantil, de cero a seis años, deberá realizarse y lograr un desarrollo paralelo y armónico en cuanto hace referencia a la iniciación matemática y a la del lenguaje.

Es necesario cuidar todo esto grandemente ya que se malogran muchos procesos mentales, nociones o conceptos matemáticos sólo por problemas en el lenguaje que se ha empleado.

El educador o educadora de Educación Infantil que quieran realizar una correcta iniciación matemática deberán ser muy creativos, activos y dinámicos, empatizar perfectamente con todos los niños y niñas según la edad de éstos y, a la vez, mantenerse muy al día en su formación psicopedagógica y científica. Todo ello supone, sin duda alguna, un “arte” singular, vivido en el día a día.

El pensamiento lógico matemático desde la perspectiva de Piaget

Generalidades sobre la teoría piagetiana

La obra de Piaget se conoce hacia los años de 1920-1930, es redescubierto en la década del '60, cuando el conductismo enfrenta una crisis profunda y se esta gestando una “revolución cognitiva”.

Piaget denomina psicología genética al estudio del desarrollo de las funciones mentales. Sostiene que consiste en utilizar la psicología del niño para encontrar las soluciones a los problemas psicológicos generales del adulto. Su obra científica giró en torno a las investigaciones psicológicas para poder explicar la construcción del conocimiento en el hombre, siendo el eje de su obra el conocimiento científico.

Es necesario aclarar que Piaget nunca dirigió una investigación con fines puramente pedagógicos. Sin embargo, su teoría genética aplicada en el salón de clases ha sido un aporte cada vez mayor.

Para conocer un poco del pensamiento piagetiano, es menester preguntarse acerca de la naturaleza del conocimiento. A fin de dar respuesta a esta interrogante, debemos recurrir a la epistemología genética, que es la teoría que explica la construcción del conocimiento, intentando así explicar el curso del desarrollo intelectual humano desde la fase inicial del recién nacido, donde predominan los mecanismos reflejos, hasta la etapa adulta caracterizada por procesos conscientes de comportamiento regulado y hábil.

Para esta teoría el conocimiento es un proceso no un estado. Si se concibe que el conocimiento esta siempre en continuo devenir, y que además consiste en pasar de un estado de menor conocimiento a uno más completo y mayor, se deducirá que el objetivo de la teoría será conocer precisamente ese devenir, y analizarlo lo más exactamente posible. 

En términos piagetianos, el conocimiento es un proceso que, a partir de un estado de menor equilibrio, se reequilibra autorreguladamente en estados de mayor equilibrio, superadores del estado anterior.

Asimilación y Acomodación

El proceso de construcción genética se explica mediante dos mecanismos: la asimilación (proceso a través del cual se integran los conocimientos nuevos en las viejas estructuras presentes en el sujeto) y la acomodación (proceso de reformulación de esas viejas estructuras y elaboración de unas nuevas como consecuencia de la incorporación mental de un nuevo conocimiento

La adaptación es un proceso activo por parte del sujeto en la búsqueda del equilibrio, que se desarrolla por intermedio de la asimilación de nuevos elementos a través de la modificación de los esquemas y estructuras mentales existentes, debido al resultado de nuevas experiencias y por acomodación del objeto de conocimiento dentro de la estructura cognitiva.

La adaptación es una síntesis activa, un equilibrio dinámico producto de las relaciones mentales que establece el individuo con el objeto de conocimiento.

El concepto de esquema

El concepto de esquema aparece en la obra de Piaget en relación con el tipo de organización cognitiva que necesariamente implica la asimilación: los objetos externos son siempre asimilados a algo, a un esquema mental, a una estructura mental organizada.

Para Piaget, un esquema es una estructura mental determinada que puede ser transferida y generalizada. Un esquema puede traducirse en muchos niveles distintos de abstracción. Uno de los primeros esquemas es el de objeto permanente, que permite  al niño responder a objetos que no están presentes sensorialmente. Más tarde el niño concibe el esquema de una clase de objetos, lo que le permite agruparlos en clases y ver la relación que tienen los miembros de una clase con los de otras.

En muchos aspectos, el esquema de Piaget se parece a la idea tradicional de concepto, salvo que se refiere a operaciones mentales y estructuras cognitivas en vez de referirse a clasificaciones preceptúales.

La noción de inteligencia

La inteligencia se desarrolla mediante la asimilación de la realidad y la acomodación a dicha realidad. La inteligencia constituye un estado de equilibrio hacia el que tienden todas las adaptaciones, con los intercambios asimiladores y acomodadores entre el organismo y el medio que las constituyen."La inteligencia en sí constituye la adaptación por excelencia”.

Algunas veces, el sujeto sólo asimila la información que no puede acomodar inmediatamente a sus estructuras internas. El proceso continuo de establecimiento de equilibrios entre las ideas es una parte fundamental de todo aprendizaje. Esto es así porque todo aprendizaje parte de un interrogante sobre una realidad que plantee una situación conflictiva un conflicto cognitivo, que dé lugar a la búsqueda, por parte del sujeto, de la respuesta  que le permita alcanzar nuevos conocimientos.

Componentes de la acción inteligente

En las acciones inteligentes pueden distinguirse tres componentes fundamentales: el contenido que se refiere a las conductas reales, a la tarea que se esta realizando, la función es el ajuste de conductas en respuesta a las exigencias cambiantes del entorno y la estructura las propiedades de la organización mental que es responsable de las conductas y de los tipos de ajuste que se realizan.

Las estructuras organizadas son un producto de la inteligencia, y son indispensables para su formación. Son operaciones interiorizadas en la mente, a su vez reversibles, que tienen de acuerdo con Piaget, una naturaleza lógica y matemática.

Una operación es una acción mental que tiene implicaciones y resultados en el comportamiento observable del individuo. Las estructuras cognitivas son el resultado de procesos genéticos, en los que se construyen procesos de intercambio.

Los estadios del desarrollo

El desarrollo cognoscitivo comienza cuando el niño va realizando un equilibrio interno entre la acomodación y el medio que lo rodea y la asimilación de esta misma realidad a sus estructuras. Este desarrollo va siguiendo un orden determinado, que incluye cuatro periodos o estadios de desarrollo, el sensorio-motriz, el preoperacional, el concreto y el formal, cada uno de estos periodos está constituido por estructuras originales, las cuales se irán construyendo a partir del paso de un estado a otro.

Para describir el proceso de desarrollo intelectual del individuo se explicará en qué consiste cada estadio:

Estadio Sensorio-motriz: Abarca desde el nacimiento hasta los dos años de edad aproximadamente y se caracteriza por ser un estadio prelingüístico. El niño aprende a través de experiencias sensoriales inmediatas y de actividades motoras corporales.

Estadio de las operaciones concretas

Se subdividen en:

Sub-estadio del pensamiento preoperacional

El símbolo viene a jugar un papel importante además del lenguaje, esto ocurre entre los 2-4 años aproximadamente. En el segundo nivel que abarca entre los 4-6 años aproximadamente el niño desarrolla la capacidad de simbolizar la realidad, construyendo pensamientos e imágenes más complejas a través del lenguaje y otros significantes. Sin embargo, se presentan ciertas limitaciones en el pensamiento del niño como: Egocentrismo, centración, realismo, animismo, artificialismo,  precausalidad, irreversibilidad, razonamiento transductivo.

Sub-estadio del pensamiento operacional concreto

A partir de los 7-11 años aproximadamente. En este nivel el niño logra la reversibilidad del pensamiento, además que puede resolver problemas si el objeto está presente. Se desarrolla la capacidad de seriar, clasificar, ordenar mentalmente conjuntos. Se van produciendo avances en el proceso de socialización ya que las relaciones se hacen más complejas.

Estadio de las operaciones formales: Abarca de los 11 a los 15 años. En este periodo el adolescente ya se desenvuelve con operaciones de segundo grado, o sea sobre resultados de operaciones. En este nivel el desarrollo cualitativo alcanza su punto más alto, ya que se desarrollan sentimientos idealistas. El niño o adolescente maneja además las dos reversibilidades en forma integrada simultánea y sincrónica.

En definitiva los niños pasan por las diferentes etapas en el mismo orden, sin importar su cultura y las experiencias a las que estén sometidos ya que cada uno de estos periodos posee un carácter de integración.

Tipos de Conocimientos:

Piaget distingue tres tipos de conocimiento que el sujeto puede poseer, éstos son los siguientes: físico, lógico-matemático y social.

 El conocimiento físico es el que pertenece a los objetos del mundo natural; se refiere básicamente alque está incorporado por abstracción empírica, en los objetos. La fuente de este razonamiento está en los objetos (por ejemplo la dureza de un cuerpo, el peso, la rugosidad, el sonido que produce, el sabor, la longitud, etcétera). Este conocimiento es el que adquiere el niño a través de la manipulación de los objetos que le rodean y que forman parte de su interacción con el medio. Ejemplo de ello, es cuando el niño manipula los objetos que se encuentran en el aula y los diferencia por textura, color, peso, etc.

Es la abstracción que el niño hace de las características de los objetos en la realidad externa a través del proceso de observación: color, forma, tamaño, peso y la única forma que tiene el niño para descubrir esas propiedades es actuando sobre ellos físico y mentalmente.

El conocimiento físico es el tipo de conocimiento referido a los objetos, las personas, el ambiente que rodea al niño, tiene su origen en lo externo. En otras palabras, la fuente del conocimiento físico son los objetos del mundo externo, ejemplo: una pelota, el carro, el tren, el tetero, etc.

El conocimiento lógico-matemático: es el que no existe por si mismo en la realidad (en los objetos). La fuente de este razonamiento está en el sujeto y éste la construye por abstracción reflexiva. De hecho se deriva de la coordinación de las acciones que realiza el sujeto con los objetos. El ejemplo más típico es el número, si nosotros vemos tres objetos frente a nosotros en ningún lado vemos el "tres", éste es más bien producto de una abstracción de las coordinaciones de acciones que el sujeto ha realizado, cuando se ha enfrentado a situaciones donde se encuentren tres objetos. El conocimiento lógico-matemático es el que construye el niño al relacionar las experiencias obtenidas en la manipulación de los objetos. Por ejemplo, el niño diferencia entre un objeto de textura áspera con uno de textura lisa y establece que son diferentes. El conocimiento lógico-matemático "surge de una abstracción reflexiva", ya que este conocimiento no es observable y es el niño quien lo construye en su mente a través de las relaciones con los objetos, desarrollándose siempre de lo más simple a lo más complejo, teniendo como particularidad que el conocimiento adquirido una vez procesado no se olvida, ya que la experiencia no proviene de los objetos sino de su acción sobre los mismos. De allí que este conocimiento posea características propias que lo diferencian de otros conocimientos.

Las operaciones lógico matemáticas, antes de ser una actitud puramente intelectual, requiere en el preescolar la construcción de estructuras internas y del manejo de ciertas nociones que son, ante todo, producto de la acción y relación del niño con objetos y sujetos y que a partir de una reflexión le permiten adquirir las nociones fundamentales de clasificación, seriación y la noción de número. El adulto que acompaña al niño en su proceso de aprendizaje debe planificar didáctica de procesos que le permitan interaccionar con objetos reales, que sean su realidad: personas, juguetes, ropa, animales, plantas, etc.

El pensamiento lógico matemático comprende:

1.- Clasificación: constituye una serie de relaciones mentales en función de las cuales los objetos se reúnen por semejanzas, se separan por diferencias, se define la pertenencia del objeto a una clase y se incluyen en ella subclases. En conclusión las relaciones que se establecen son las semejanzas, diferencias, pertenencias (relación entre un elemento y la clase a la que pertenece) e inclusiones (relación entre una subclases y la clase de la que forma parte). La clasificación en el niño pasa por varias etapas:

a) Alineamiento: de una sola dimensión, continuos o discontinuos. Los elementos que escoge son heterogéneos.

b) Objetos Colectivos: colecciones de dos o tres dimensiones, formadas por elementos semejantes y que constituyen una unidad geométrica.

c) Objetos Complejos: Iguales caracteres de la colectiva, pero con elementos heterogéneos. De variedades: formas geométricas y figuras representativas de la realidad.

d) Colección no Figural: posee dos momentos.

• Forma colecciones de parejas y tríos: al comienzo de esta sub-etapa el niño todavía mantiene la alternancia de criterios, más adelante mantiene un criterio fijo.
• Segundo momento: se forman agrupaciones que abarcan más y que pueden a su vez, dividirse en sub-colecciones.

2.-Seriación: Es una operación lógica que a partir de un sistemas de referencias, permite establecer relaciones comparativas entre los elementos de un conjunto, y ordenarlos según sus diferencias, ya sea en forma decreciente o decreciente. Posee las siguientes propiedades:

a)  Transitividad: Consiste en poder establecer deductivamente la relación existente entre dos elementos que no han sido comparadas efectivamente a partir de otras relaciones que si han sido establecidas perceptivamente.

b) Reversibilidad: Es la posibilidad de concebir simultáneamente dos relaciones inversas, es decir, considerar a cada elemento como mayor que los siguientes y menor que los anteriores.

La seriación pasa por las siguientes etapas:

Primera etapa: Parejas y Tríos (formar parejas de elementos, colocando uno pequeño y el otro grande) y Escaleras y Techo (el niño construye una escalera, centrándose en el extremo superior y descuidando la línea de base).

Segunda etapa: Serie por ensayo y error (el niño logra la serie, con dificultad para ordenarlas completamente).

Tercera etapa: el niño realiza la seriación sistemática.

3.-Número: es un concepto lógico de naturaleza distinta al conocimiento físico o social, ya que no se extrae directamente de las propiedades física de los objetos ni de las convenciones, sino que se construye a través de un proceso de abstracción reflexiva de las relaciones entre los conjuntos que expresan número. Según Piaget, la formación del concepto de número es el resultado de las operaciones lógicas como la clasificación y la seriación; por ejemplo, cuando agrupamos determinado número de objetos o lo ordenamos en serie. Las operaciones mentales sólo pueden tener lugar cuando se logra la noción de la conservación, de la cantidad y la equivalencia, término a término. Consta de las siguientes etapas:

Primera etapa (5 años): sin conservación de la cantidad, ausencia de correspondencia término a término.

Segunda etapa (5 a 6 años): Establecimiento de la correspondencia término a término pero sin equivalencia durable.

Tercera etapa: conservación del número.

El conocimiento social: puede ser dividido en convencional y no convencional. El social convencional, es producto del consenso de un grupo social y la fuente de éste conocimiento está en los otros (amigos, padres, maestros, etc.). Algunos ejemplos serían: que los domingos no se va a la escuela, que no hay que hacer ruido en un examen, etc. El conocimiento social no convencional, sería aquel referido a nociones o representaciones sociales y que es construido y apropiado por el sujeto. Ejemplos de este tipo serían: noción de rico-pobre, noción de ganancia, noción de trabajo, representación de autoridad, etc.

El conocimiento social es un conocimiento arbitrario, basado en el consenso social. Es el conocimiento que adquiere el niño al relacionarse con otros niños o con el docente en su relación niño-niño y niño-adulto. Este conocimiento se logra al fomentar la interacción grupal.

Los tres tipos de conocimiento interactúan entre, sí y según Piaget, el lógico-matemático (armazones del sistema cognitivo: estructuras y esquemas) juega un papel preponderante en tanto que sin él los conocimientos físico y social no se podrían incorporar o asimilar. Finalmente hay que señalar que, de acuerdo con Piaget, el razonamiento lógico-matemático no puede ser enseñado.

Se puede concluir que a medida que el niño tiene contacto con los objetos del medio (conocimiento físico) y comparte sus experiencias con otras personas (conocimiento social), mejor será la estructuración del conocimiento lógico-matemático.

El aprendizaje como proceso de construcción

¿Cómo definir el aprendizaje en la perspectiva piagetiana? El aprendizaje es un proceso de construcción y de intercambio entre el sujeto y la realidad. Este intercambio es activo: el sujeto intenta conocer la realidad, que resulta ser descubierta y reinventada por aquel que la investiga.

Todo conocimiento, todo aprendizaje visto desde esta teoría parte de una interrogante acerca de una realidad que plantea un conflicto cognitivo: es la búsqueda activa de la respuesta la que permite descubrir nuevos conocimientos y leyes explicativas, que casi siempre son insuficientes ya que ante cada respuesta surgen nuevas interrogantes, resultantes del nuevo conocimiento.

Este proceso constante de equilibración (equilibrio-desequilibrio-reequilibración) parte de la interacción del sujeto con la realidad. Son situaciones constantes que, con sus consecuentes búsquedas, están directamente ligadas al campo de los intereses del sujeto. Solo cuando un niño reconoce la presencia de un conflicto, y se siente molesto y perturbado ante él, consigue a veces construir una noción más adecuada que concilie las partes en contradicción.

La búsqueda de una solución a un problema surgido en la relación sujeto-medio lleva a la acción, ya sea esta de carácter real o mental; es decir que pone en marcha  esquemas e instrumentos de conocimiento de los que el sujeto dispone para apropiarse de este.

El aprendizaje escolar tiene que estar encauzado en este sentido: generar conflictos que sean verdaderas perturbaciones para así poner en marcha la búsqueda activa por parte de los niños.

Implicaciones didácticas

Nos sugiere Piaget que: “Educar es adaptar al niño al medio social adulto, es decir transformar la constitución psicobiológica del individuo en función del conjunto de aquellas realidades colectivas a las que la conciencia común atribuye un cierto valor”

Es preciso tener en cuenta que la educación actúa tanto sobre el desarrollo intelectual como sobre el de la moralidad y la afectividad, sobre todo en los aspectos sociales de estos factores. Para Piaget, una buena enseñanza debe tener en claro cuáles son sus fines. Una vez determinados estos, el paso siguiente es establecer cuáles serán los caminos para alcanzarlos.

Sin embargo, se hace necesario conocer las leyes del desarrollo mental a fin de encontrar los métodos más adecuados para el tipo de formación que se desea.

Vale decir que, en el marco de la teoría psicogenética, las cuestiones didácticas no se sitúan tanto en torno a indagaciones relacionadas con cómo debe enseñar o cual método debe utilizar el docente. La pregunta es cómo estructura el conocimiento y como aprende el niño en función de los esquemas que dispone. Por lo tanto, las situaciones problemáticas a presentar a los alumnos deberán respetar las respuestas a estas dos últimas preguntas.

Conceptos topológicos y euclidianos.

 La organización espacial se halla íntimamente relacionada con el esquema corporal. Puede entenderse como la estructuración del mundo externo, que primeramente se relaciona con el yo y luego con otras personas y objetos tanto se hallen en situación estática como en movimiento. Se trata, por consiguiente, del conocimiento del mundo externo tomando como referencia el propio yo (esquema corporal).

"El espacio es la diferenciación del "yo" corporal respecto del mundo exterior". Fernández (2003) lo describe como "Medio en el que se sostienen nuestros desplazamientos, delimitado por sucesos (intervención temporal) y por sujetos (intervención personal), en el que cada individuo organiza una ordenación de sus percepciones en función a las vinculaciones que mantiene con dicho medio, reportándole un continuo Feed-back".

 "La evolución de la conciencia de la estructura y organización del espacio se construye sobre una progresión que va desde una localización egocéntrica a una localización objetiva", a su vez lo entiende como "El desarrollo de actividades para el conocimiento espacial pretende potenciar en el niño la capacidad de reconocimiento del espacio que ocupa su cuerpo y dentro del cual es capaz de orientarse".

La adquisición de la noción de espacio

Las primeras clasificaciones complejas acerca de las nociones espaciales aparecen en Piaget (1948), el cual fundamenta y expone que la adquisición del espacio se da en tres etapas:

1.- Espacio topológico:

    Transcurre desde el nacimiento hasta los tres años y en principio se limita al campo visual y las posibilidades motrices del niño. Al conquistar la habilidad motriz básica de la marcha el espacio se amplía, se desenvuelve en él y capta distancias y direcciones en relación con su propio cuerpo, a partir de sensaciones cinéticas, visuales y táctiles, distinguiéndose las siguientes posibilidades para el espacio topológico:

• Vecindad: relación de cercanía entre los objetos.
• Separación: relación entre un grupo de objetos que se hallan dispersos.
• Orden: relación que guardan un grupo de objetos respecto a un sistema de referencia.
• Envolvimiento: relación en que un sujeto u objeto rodea a otro.
• Continuidad: relación en la que aparecen una sucesión constante de elementos.

2.- Espacio euclidiano:

    Entre los tres y siete años se va consolidando el esquema corporal favoreciendo las relaciones espaciales y adquiriendo las nociones de:

• Tamaño: grande, pequeño, mediano.
• Dirección: a, hasta, desde, aquí.
• Situación: dentro, fuera, encima, debajo.
• Orientación: derecha, izquierda, arriba, abajo, delante, detrás.

3.- Espacio proyectivo o racional:

    Transcurridos los siete primeros años de vida el espacio se concibe como un esquema general del pensamiento, fundamentándose en la representación mental de la derecha e izquierda. Se da en aquellos casos en los que existe una necesidad de situar a los objetos en relación a otros, por lo tanto se adquiere el concepto de perspectiva, en el que permaneciendo los objetos o sujetos inamovibles, respecto a un sistema de referencia, cambiará la relación entre los objetos.

Las relaciones de orientación espacial

Relaciones de Orientación: Derecha-izquierda, Arriba-abajo, Delante-detrás.

Al niño nada más nacer, se le observan movimientos inconscientes y reflejos. Esto no implica que éste se oriente y tenga conciencia de su propio cuerpo en el espacio. Cuando el niño tiene conciencia de su propio cuerpo e imagen, según Linares (1989), coordina movimientos organizando su propio espacio, teniendo en cuenta posibles adaptaciones espaciales (obstáculos que obligan al niño reorganizarse constantemente). Por ello, no se puede comprender la adquisición de un espacio coordinado sin referirnos a la evolución de la percepción del propio cuerpo.

Según las posibilidades y necesidades espaciales, el niño se organizará su propio espacio personal y social.

Espacio personal: El que ocupa nuestro propio cuerpo; y los espacios internos de éste.

Espacio social: Es el espacio que compartimos con otros. También denominado, por algunos autores, como espacio relacional por ser el habitáculo de las intercomunicaciones.

El niño entiende el espacio en referencia a su propio cuerpo, de tal forma que cuando ubica su cuerpo en una superficie donde hay más personas u objetos, el niño desde su perspectiva de punto central, va organizando el espacio personal y el social y lo va haciendo en la medida que va conociendo sus posibilidades corporales.  

Las diferentes experiencias personales supondrán la mejora y afianzamiento de las nociones espaciales, palabras que designan el espacio, refuerzan todos los pasos Ejemplos de estas situaciones pueden ser: saltar atrás o delante de una silla. Esto traerá consigo que el niño vaya cada vez teniendo más preciso el concepto del espacio que le rodea, por las diferentes experiencias, estas apreciaciones se hacen más finas; las distancias, los intervalos, las direcciones, el concepto derecha-izquierda, las relaciones en el espacio, se hacen cada vez más seguras en las situaciones de los niños en sus movimientos.

En este sentido, Piaget (1981) hace referencia a dichas Relaciones encuadrándolas como un "espacio topológico", formando parte del periodo sensoriomotriz del niño, en el que la coordinación de movimientos es esencial para la construcción del espacio. Las Palabras de Piaget, revelan que la elaboración del espacio se debe esencialmente a la coordinación de los movimientos, relación entre desarrollo e inteligencia sensoriomotriz. A este periodo sensoriomotriz se le denomina "espacio topológico", más tarde servirá de apoyo de la organización de sus relaciones espaciales con las personas y los objetos.

La lateralidad (dominio de un lado sobre otro) en el niño, viene dada por factores endógenos (interior); ya que la elección de un lado u otro normalmente es debido a que uno de sus hemisferios cerebrales madura antes que otro, limitando el lado que no ha madurado. Por otra parte, existen también otro factor, el ambiental (exógeno), que puede influir en el predominio de uno de sus lados sobre el otro (véase niños que por ser privados de su libertad en uno de sus miembros en la etapa lactante, no desarrolla correctamente el miembro cohibido). La lateralidad se atribuye a factores exógenos, bien a factores endógenos.

Dichos factores decidirán su gusto por la práctica de uno de sus laterales; extremidades (inferiores y superiores), e incluso sus ojos. Tal decantación por su parte preferida, estará completamente definida a la edad comprendida de los 8 a los 9 años.   La orientación izquierda-derecha desde el punto de vista del desarrollo, es en la etapa cuarta cuando el niño llega a saber cuáles son sus partes con precisión a la edad de los 8 a 9 años.

Si no mostrase su lateralidad en la fase inicial del desarrollo, es posible que se acarreen serios problemas y dificultades en lo que se refiere al aprendizaje en el transcurso de su vida tanto académica como social. La problemática de las preferencias laterales en la fase inicial del niño puede da lugar al desarrollo de una serie de dificultades de rendimiento académico.

Para afianzar su derecha-izquierda, tiene decisiva importancia el juego (habilidades y destrezas motoras). Para afirmar la lateralidad, el juego es sumamente importante, tanto en juegos específicos de lateralidad, como golpeos y manipulaciones de pelotas o de diferentes objetos, como en los juegos de coordinación dinámica general y óculo-manual.

Las relaciones de localización espacial

Localización Espacial: Allí, Aquí, Allá, Acá, Ahí, Entre, Centro (en el), Cerca-lejos, Próximo-lejano.

Una mala orientación en el espacio supondrá la difícil localización del propio cuerpo, y por tanto, se apreciará una irregular organización. La orientación espacial es la aptitud para mantener constante la localización del propio cuerpo tanto en función de la posición de los objetos en el espacio como para posicionar esos objetos en función de la propia posición. Esto podemos comprobarlo al realizar una rondada.

El espacio en el niño se puede considerar una evolución paralela con la imagen del cuerpo. Para conocer en mayor medida el espacio exterior, el niño debe reconocer en primer lugar su propio espacio (el que ocupa). Así pues, distinguiremos entre espacio próximo y lejano. En el primer concepto se advierte de la zona por la que el niño se mueve, y en el segundo ese espacio se limitará al medio y lugar hasta donde alcanza su vista.

Para reforzar los parámetros de espacialidad, el niño debe reconocer su propio espacio, que es el que envuelve su cuerpo en cualquier acción que realice, el espacio próximo, propio del área o zona por la que el niño se mueve y el espacio lejano que es el entorno o paisaje en que se encuentra y alcanza su vista.

En la misma dinámica sobre el espacio exterior o espacio externo, se diferencia entre la distancia y dirección respecto al yo, puesto que, el espacio externo se percibe como una distancia del yo (el gesto ha de ser más o menos largo) y la dirección (el gesto ha de ser hacia la derecha, izquierda, arriba, abajo, etc.).

Mencionada dirección es aprobada en el niño entre los 3 y 7 años, edad en la que éste es consciente ya de las nociones de orientación; derecha-izquierda, arriba-abajo, delante-detrás. Entre los 3 y 7 años, el niño accede a las nociones de orientación (derecha-izquierda, arriba-abajo, delante-detrás).