Fundamentos de Lógica, Conjuntos y Álgebra de Boole: Resumen Completo

1. Tabla maestra de equivalencias entre unidades

2. Leyes algebraicas (Idénticas en Lógica, Conjuntos y Boole)

• Involución (Doble negación): ¬(¬p) ⇔ p | (A')' = A | (x')' = x
• De Morgan: (El ' o ¬ entra a cada letra e invierte el conector del medio)
  • ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q | ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q
  • (A ∪ B)' = A' ∩ B' | (A ∩ B)' = A' ∪ B'
  • (x + y)' = x' · y' | (x · y)' = x' + y'
• Distributiva:
  • p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
  • A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
  • A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
  • x · (y + z) = (x · y) + (x · z)
  • x + (y · z) = (x + y) · (x + z) <-- ¡Ojo con esta en Boole!
• Inversas:
  • Con "Y": p ∧ ¬p ⇔ F₀ | A ∩ A' = ∅ | x · x' = 0
  • Con "O": p ∨ ¬p ⇔ T₀ | A ∪ A' = U | x + x' = 1
• Neutro: p ∧ T₀ ⇔ p | p ∨ F₀ ⇔ p | A ∩ U = A | A ∪ ∅ = A | x · 1 = x | x + 0 = x
• Dominación: p ∧ F₀ ⇔ F₀ | p ∨ T₀ ⇔ T₀ | A ∩ ∅ = ∅ | A ∪ U = U | x · 0 = 0 | x + 1 = 1
• Idempotencia: p ∧ p ⇔ p | p ∨ p ⇔ p | A ∩ A = A | A ∪ A = A | x · x = x | x + x = x
• Absorción: p ∧ (p ∨ q) ⇔ p | p ∨ (p ∧ q) ⇔ p | A ∩ (A ∪ B) = A | A ∪ (A ∩ B) = A

3. Patrones rápidos de resolución

• Si ves Flecha (A → B): Reemplazá directo por: ¬A ∨ B (Equivalencia del condicional).
• Si ves Resta de conjuntos (A - B): Reemplazá directo por: A ∩ B' (Propiedad de la diferencia).
• Si ves Diferencia Simétrica (A Δ B): Reemplazá directo por: (A - B) ∪ (B - A) ó (A ∩ B') ∪ (B ∩ A').
• Si ves una negación afuera de un bloque ¬(...) o (...)': Aplicá De Morgan para romper el paréntesis.
• Si ves la misma letra repetida en dos paréntesis: Extraé Factor Común (Distributiva inversa).

4. Unidad 01: Lógica proposicional y circuitos

Reglas clave de conectivos

• Conjunción (∧): Solo da V si AMBAS son V.
• Disyunción (∨): Solo da F si AMBAS son F (con una V ya da V).
• Condicional (→): Solo da F si V → F (antecedente V y consecuente F).
• Bicondicional (↔): Da V si ambas tienen el MISMO valor.
• Disyunción Exclusiva (∨_): Da V si tienen DISTINTO valor.

Clasificación de la tabla de verdad

• Tautología: Toda la columna final dio V.
• Contradicción: Toda la columna final dio F.
• Contingencia: Mezcla de V y F.

5. Unidad 02: Reglas de inferencia

Estructura: Premisas (arriba de la línea) → Conclusión ∴ (abajo de la línea).

• Simplificación: A ∧ B ⇒ A (o B).
• Modus Ponens (MP): A → B, A ∴ B.
• Modus Tollens (MT): A → B, ¬B ∴ ¬A.
• Silogismo Disyuntivo (SD): A ∨ B, ¬A ∴ B.
• Silogismo Hipotético (SH): A → B, B → C ∴ A → C.
• Conjunción: A, B ∴ A ∧ B.
• Adición: A ⇒ A ∨ B.

6. Unidad 03: Predicados y cuantificadores

• Universal (∀): "Para todo". Si es falso, basta un contraejemplo.
• Existencial (∃): "Existe al menos uno". Si es falso, ninguno lo cumple.
• Negación: ¬[ ∀x, P(x) ] ⇔ ∃x, ¬P(x) y ¬[ ∃x, P(x) ] ⇔ ∀x, ¬P(x).

7. Unidad 04: Teoría de conjuntos

• Operaciones: Unión, Intersección, Diferencia, Diferencia Simétrica y Complemento.
• Cardinal y Partes: |P(A)| = 2^k.

8. Unidad 05: Álgebras de Boole y tablas

Reconstrucción de fórmulas

1. Minitérminos (Forma Normal Disyuntiva): Usar filas donde F = 1. Si variable es 0 → variable', si es 1 → variable. Sumar productos.
2. Máxtérminos (Forma Normal Conjuntiva): Usar filas donde F = 0. Si variable es 0 → variable, si es 1 → variable'. Multiplicar sumas.