Fundamentos de Estadística Descriptiva e Índices Económicos: Teoría y Fórmulas

1. Introducción a la Estadística y el Método Científico

Estadística: Es la tecnología del método científico que proporciona elementos para la toma de decisiones cuando estas deben adoptarse en un ambiente de incertidumbre y siempre que se puedan medir en términos de probabilidad.

Etapas del Método Científico

1. Definición por objetivos: Se fijan las características cuantitativas o cualitativas. También se determina el carácter censal o muestral del estudio.
2. Recogida de datos estadísticos:
   • Encuesta censal (exhaustiva): Mide la característica en todos y cada uno de los elementos de la población.
   • Encuesta muestral (no exhaustiva): Mide solo en algunos elementos; es la más común. Incluye el diseño del cuestionario.
3. Descripción y estimación de parámetros poblacionales: Consiste en la descripción de los datos obtenidos utilizando un método deductivo mediante tablas de frecuencias y gráficos. Se lleva a cabo la definición del modelo probabilístico que se usará para obtener conclusiones válidas.

2. Ramas de la Estadística

1. Estadística Descriptiva: Rama de la estadística que tiene por objetivo ordenar y presentar los datos estadísticos básicos para extraer conclusiones elementales. Describe la información estadística disponible utilizando un método científico deductivo (parte de un conjunto genérico para llegar a conclusiones particulares; va de lo general a lo particular).
2. Estadística Teórica (o Matemática): Se parte de la definición de probabilidad y de una serie de axiomas que deben verificarse para llegar a un conjunto de teoremas fundamentales para el desarrollo de la inferencia estadística. Constituye la parte deductiva formal.
3. Estadística Inductiva o Inferencia Estadística: Se conoce comúnmente como Estadística. Es la rama que facilita determinados instrumentos para que, mediante el estudio de las muestras, se obtengan conclusiones para toda la población. Induce las propiedades de la población a partir de la información de las muestras con cierto grado de confianza, obtenido de la aplicación del cálculo de probabilidades. Va de lo particular a lo general.

3. Conceptos Fundamentales: Atributos y Variables

• Atributos: Características cualitativas de la población que se describen mediante modalidades, las cuales se expresan como x₁, x₂, ..., x_n. No son medibles numéricamente de forma directa; cada variable presenta distintas formas o categorías a las que se asocian sus valores.
• Variables: Características cuantitativas medibles que se expresan numéricamente. Cada variable presenta distintas formas o categorías, a las que denominamos valores.
  • Variable discreta: Entre dos valores consecutivos no existen valores intermedios.
  • Variable continua: Entre dos valores consecutivos sí pueden existir infinitos valores intermedios.

4. Distribuciones de Frecuencia

• Frecuencia Absoluta (n_i): Número de veces que se repite un determinado valor en una distribución. Se verifica que Σ n_i = N, donde N es el número total de observaciones.
• Frecuencia Absoluta Acumulada (N_i): Para un valor determinado, es la suma de las frecuencias absolutas de aquellos valores de la variable que son menores o iguales que dicho valor (≤). Para variables cuantitativas, indica el número de observaciones con valores menores o iguales al considerado.
• Frecuencia Relativa (f_i): Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el total de observaciones: f_i = n_i / N. Representa la importancia o el peso relativo del valor x_i en el conjunto total de observaciones.
• Frecuencia Relativa Acumulada (F_i): Suma de las frecuencias relativas de aquellos valores de la variable que sean menores o iguales (≤) que ese valor. Mide, para las variables cuantitativas, la proporción de valores que son menores o iguales a X_i. La última frecuencia relativa acumulada siempre es igual a la unidad (F_k = 1).

5. Medidas de Posición y Tendencia Central

Se cumple la relación general de medias: H ≤ G ≤ x̄.

5.1. Medias

• Media Aritmética (x̄): Número que resume y representa toda la masa de datos. Puede ser o no representativa (lo es si los datos son homogéneos). Su cálculo es: x̄ = (Σ x_i · n_i) / N. En ocasiones se utiliza la Media Aritmética Ponderada, otorgando a cada valor una ponderación específica.
  • Ventajas: Considera todos los valores, siempre se puede calcular y es única para cada distribución.
  • Desventajas: Es muy sensible a valores extremos.
• Media Geométrica (G): Raíz N-ésima del producto de los N valores de la distribución de frecuencias: G = ^N√(∏ x_i^n_i). Considera todos los valores de la distribución y, si existe, es única. Es menos sensible a valores extremos que la media aritmética. Desventaja: No siempre se puede calcular si existen valores iguales a cero o negativos.
• Media Armónica (H): Se define como el inverso de la media aritmética de los valores inversos: H = N / Σ ((1 / x_i) · n_i). Considera todos los valores de la distribución y es única. Desventajas: No se puede calcular si algún valor es cero, y si algún valor es muy pequeño la media se distorsiona notablemente.

5.2. Mediana y Moda

• Mediana (Me): Una vez ordenados los datos de menor a mayor, es aquel valor de la variable que ocupa la posición central, dejando a su izquierda y a su derecha el 50% de los datos. No tiene sentido para variables cualitativas. Se localiza donde N_i ≥ N / 2. En distribuciones discretas: Me = (X_i + X_i+1) / 2, siendo X_i y X_i+1 los valores centrales.
• Moda (Mo): Es el valor de la variable que más veces se repite (el de mayor frecuencia absoluta en distribuciones no agrupadas). Se puede calcular también para variables cualitativas y puede existir más de una moda en una distribución (multimodal).

6. Medidas de Concentración

Tienen por objetivo poner de manifiesto el mayor o menor grado de igualdad en el reparto del total de valores de la variable.

• Índice de Gini (IG): Permite valorar numéricamente el grado de concentración de la variable. Consiste en evaluar si una masa total (por ejemplo, la masa salarial distribuida en valores concretos o por intervalos entre los empleados n_i) está repartida de forma equitativa o concentrada en unos pocos individuos.
  Fórmula: IG = Σ (p_i - q_i) / Σ p_i, donde p_i es el porcentaje acumulado de individuos/empleados y q_i es el porcentaje acumulado de la variable/renta. El IG oscila entre:
  • Mínima concentración (máxima equidad): IG = 0.
  • Máxima concentración (mínima equidad): IG = 1.
• Curva de Lorenz: Permite valorar gráficamente el grado de concentración de la variable. Al igual que el Índice de Gini, sirve para estudiar la equidad del reparto comparando p_i con q_i.
  • Mínima concentración / máxima equidad: Coincide con la diagonal principal (p_i = q_i).
  • Máxima concentración / mínima equidad: q₁ = q₂ = ... = q_n-1 = 0 y q_n = 100%.

7. Medidas de Forma

7.1. Coeficiente de Asimetría (g₁)

Una distribución es simétrica cuando existe el mismo número de elementos a la derecha y a la izquierda del centro. Estas medidas determinan si los valores están dispuestos simétrica o asimétricamente respecto a un valor central (la media). Es una medida adimensional, independiente de la unidad de medida:

g₁ = [(Σ (x_i - x̄)³ · n_i) / N] / S³

• g₁ < 0: Asimetría negativa (x̄ ≤ Me ≤ Mo).
• g₁ = 0: Distribución simétrica.
• g₁ > 0: Asimetría positiva (x̄ ≥ Me ≥ Mo).

7.2. Coeficiente de Apuntamiento o Curtosis (g₂)

Mide el grado de apuntamiento de una distribución de frecuencias respecto a una distribución normal tomada como referencia (cuyo coeficiente de curtosis base se fija en 0):

g₂ = [(Σ (x_i - x̄)⁴ · n_i) / N] / S⁴ - 3

• g₂ < 0 (Platicúrtica): Apuntamiento menor que el de la distribución normal (más aplanada).
• g₂ = 0 (Mesocúrtica): Apuntamiento idéntico al de la distribución normal.
• g₂ > 0 (Leptocúrtica): Apuntamiento mayor que el de la distribución normal (menor dispersión de datos centrales, mayor homogeneidad).

8. Estadística Bidimensional: Covarianza, Correlación e Independencia

• Covarianza (S_xy): Mide la variación conjunta de dos variables cuantitativas en una distribución bidimensional. Es una medida de la relación lineal entre ambas que indica la presencia o ausencia de relación y su sentido:
  • S_xy = [Σ_i=1^k Σ_j=1^m (x_i - x̄)(y_j - ȳ) · n_ij] / N
  • S_xy > 0: Relación directa o positiva.
  • S_xy = 0: Ausencia de relación lineal.
  • S_xy < 0: Relación inversa o negativa.
• Coeficiente de Correlación Lineal de Pearson (r): Se emplea para medir el grado de asociación lineal entre dos variables (por ejemplo, entre una variable exógena y una endógena):
  • r = S_xy / √(S_x² · S_y²)
  • Su valor está acotado: -1 ≤ r ≤ 1. Si r = 0, no existe correlación lineal.
• Independencia Estadística: Dos variables X e Y son estadísticamente independientes cuando todas sus frecuencias relativas conjuntas son iguales al producto de sus correspondientes frecuencias relativas marginales: f_ij = f_i· · f_·j (∀ i, j). Cuando dos variables son independientes, las frecuencias relativas condicionadas coinciden con las marginales: f_i/j = n_ij / n_·j = n_i· / N = f_i·.
  • Si dos variables son independientes, se verifica que S_xy = 0. Sin embargo, lo contrario no siempre implica independencia estadística.

9. Números Índice y Deflación de Series Económicas

9.1. Concepto y Clasificación de Números Índice

Un número índice es una medida estadística que cuantifica la variación relativa en el tiempo o en el espacio de una magnitud simple o compleja:

• Índice Simple: Estudia la variación relativa del precio o la cantidad de un único bien o producto: I_t = (X_t / X₀) · 100, donde X_t es el valor en el período actual y X₀ en el período base.
• Índice Complejo: Cuantifica la evolución de un conjunto de productos o artículos.
• Índice Complejo Ponderado: Asigna a cada uno de los componentes de la magnitud un coeficiente de ponderación W_i según su importancia relativa: I_t = [Σ (x_it / x_i0) · W_i] / Σ W_i. Son los más utilizados en la práctica.

9.2. Deflación de Series Económicas

Para comparar el valor de un conjunto de bienes o servicios en dos periodos de tiempo distintos, es necesario transformar los valores expresados en euros corrientes a precios constantes. Para ello, se divide la serie original monetaria entre un índice de precios (expresado en base 1); dicho índice actúa como deflactador de la serie.

• El índice de Laspeyres no es un deflactador estricto, ya que no arroja valores estrictamente a precios constantes, a pesar de ser el más utilizado.
• El verdadero deflactador es el Índice de Paasche, pues al deflactar se obtiene el valor a precios del año base: V_t / P_p = Σ p_i0 · q_it.

9.3. Principales Fórmulas de Índices de Precios

Calculados a partir de los precios y cantidades de los bienes observados:

• Índice de Precios de Laspeyres (P_L): Utiliza como ponderación W = p_i0 · q_i0 (valores del año base):
  P_L = [Σ (p_it · q_i0) / Σ (p_i0 · q_i0)] · 100
• Índice de Precios de Paasche (P_P): Utiliza como ponderación W = p_i0 · q_it (cantidades del período corriente):
  P_P = [Σ (p_it · q_it) / Σ (p_i0 · q_it)] · 100
  Nota: Tanto Laspeyres como Paasche son los más empleados. Laspeyres mantiene las ponderaciones fijas en el tiempo, pero ambos pierden representatividad conforme nos alejamos del periodo base.
• Índice de Edgeworth-Marshall (P_E): Suma las ponderaciones de cantidades del período base y del período corriente:
  P_E = [Σ p_it(q_i0 + q_it) / Σ p_i0(q_i0 + q_it)] · 100
• Índice de Fisher (P_F): Corresponde a la media geométrica de los índices de Laspeyres y Paasche:
  P_F = √(P_L · P_P)