Funciones, límites, derivadas y análisis de funciones con Maxima

1. Funciones

f(x):=x^2+3*x-1; /* Definir función */

f(2); /* Calcular valor */

solve(f(x)=0,x); /* Resolver ecuación */

plot2d(f(x),[x,-5,5]); /* Dibujar gráfica */

factor(expresión); /* Factorizar */

expand(expresión); /* Desarrollar */

ratsimp(expresión); /* Simplificar */

subst(x=2,f(x)); /* Sustituir x por 2 */

2. Límites

limit(f(x),x,2); /* Límite en un punto */

limit(f(x),x,inf); /* Límite en +infinito */

limit(f(x),x,minf); /* Límite en -infinito */

limit(f(x),x,2,minus); /* Límite por la izquierda */

limit(f(x),x,2,plus); /* Límite por la derecha */

3. Continuidad

f(2); /* Valor de la función */

limit(f(x),x,2); /* Límite */

limit(f(x),x,2,minus); /* Límite izquierdo */

limit(f(x),x,2,plus); /* Límite derecho */

Es continua si el límite existe y coincide con el valor de la función.

4. Derivadas

diff(f(x),x); /* Primera derivada */

diff(f(x),x,2); /* Segunda derivada */

diff(f(x),x,3); /* Tercera derivada */

subst(x=2,diff(f(x),x)); /* Derivada en x=2 */

5. Recta tangente

f(x):=x^2;

m:subst(x=2,diff(f(x),x));

y=f(2)+m*(x-2);

m es la pendiente de la recta tangente en x=2.

6. Bolzano y raíces

solve(f(x)=0,x); /* Buscar raíces */

find_root(f(x),x,1,3); /* Aproximar una raíz entre 1 y 3 */

Para el teorema de Bolzano, comprobar que la función es continua y que cambia de signo en los extremos del intervalo.

7. Derivadas implícitas

eq: x^2 + y^2 = 25;

depends(y, x);

der_eq: diff(eq, x);

solve(der_eq, diff(y, x));

/*/

f(x) := x^3 - 3*x^2;

Intervalo de 0 a 4

1. Extremos en un intervalo

criticos: solve(diff(f(x), x) = 0, x);

a: 0$ b: 4$

ev(f(x), x=a);

ev(f(x), x=b);

2. Teoremas de Rolle y del valor medio

a_tvm: 0$ b_tvm: 1$

pend: (f(b_tvm) - f(a_tvm)) / (b_tvm - a_tvm);

solve(diff(f(x), x) = pend, x); /* Valor medio */

solve(diff(f(x), x) = 0, x); /* Rolle */

3. Funciones crecientes y decrecientes

der: diff(f(x), x);

solve(der > 0, x); /* Creciente */

solve(der < 0, x); /* Decreciente */

4. Concavidad y puntos de inflexión

d2: diff(f(x), x, 2);

solve(d2 = 0, x); /* Inflexión */

solve(d2 > 0, x); /* Cóncava hacia arriba */

solve(d2 < 0, x); /* Cóncava hacia abajo */

5. Límites en el infinito

limit(f(x), x, inf);

limit(f(x), x, minf);

6. Regla de L'Hôpital

limit(sin(x)/x, x, 0);

7. Análisis de gráficas

solve(f(x) = 0, x); /* Cortes con el eje X */

f(0); /* Corte con el eje Y */

wxplot2d(f(x), [x, -5, 5]); /* Gráfica */

8. Optimización

f_opt(x) := x * (10 - x);

crit_opt: solve(diff(f_opt(x), x) = 0, x);

subst(crit_opt[1], diff(f_opt(x), x, 2));

9. Polinomios de Taylor

taylor(sin(x), x, 0, 4);

ratdisrep(taylor(sin(x), x, 0, 4));