Fórmulas de Econometría: Regresión Lineal, Contrastes y Predicción

Coeficiente de determinación y bondad de ajuste

R² corregido: 1 − (1 − R²) · (n − 1)/(n − k)

R²: SCR/SCT = (SCT − SCR_Mod) / SCT

Coeficiente de correlación entre regresores: R = S_x2x3 / (√x2 · √x3)

Contrastes de significación

Contraste global

F_k−1,n−k: R² / (k − 1) / [(1 − R²) / (n − k)]

Contraste de un subconjunto de parámetros

F_m,n−k: [(e'e_r − e'e_nr) / m] / [e'e_nr / (n − k)]

Contraste de combinaciones lineales de parámetros

F_q,n−k: (Rβ − r)' [R(X'X)⁻¹R']⁻¹ (Rβ − r) / q / [e'e / (n − k)]

Varianza residual estimada: σ̂² = e'e / (n − k)

Contraste individual

t_n−k: β̂ / S_β̂

Multicolinealidad

FIV: 1 / (1 − R²)

La varianza estimada del coeficiente en la regresión se verá multiplicada por el FIV respecto a la que se obtendría con el modelo inicial. Valores entre 5 y 10 son considerados preocupantes.

Detección de outliers

Z_i: e_i / S_ei = e_i / √(e'e / n)

e'e: Var · (n − k)

• H₀: No es outlier
• H₁: Es outlier

Elasticidades y interpretación de modelos

Efecto marginal: dy/dx

Elasticidad: (dy/dx) · (x̄ / ȳ)

Modelo doble log: la elasticidad coincide con los βs.

Capacidad máxima: dy/dx = 0; se despeja y se sustituye el valor en la ecuación inicial.

Interpretación de coeficientes

• log-log: % β × 100%
• log-lin: unidades β / 100%
• lin-log: % unidades

Diferencia log-lineal en variables dicotómicas

(e^±β − 1) × 100

Expresiones algebraicas útiles

• 1/x² = x
• x² = 1/x
• 1/x = √x
• x = 1/√x
• i/x = 1/√(i/x)

Heterocedasticidad y mínimos cuadrados

Var(u_i*): Var(u_i u_i*), donde u_i* se eleva al cuadrado.

MCG: β̂_MCG = (X*'X*)⁻¹ X*'y*

Varianza del estimador MCO con perturbaciones no esféricas: V(β̂_MCO) = (X'X)⁻¹ (X'ΩX) (X'X)⁻¹

Estimación MCO con Var(u_i)(X'X)⁻¹: incorrecta y sesgada.

Propiedades de MCO: lineales, insesgados y consistentes, pero no eficientes.

Matriz de varianzas-covarianzas: varianzas situadas en la diagonal de las perturbaciones 1, 2, …, N.

Matriz Ω: (heterocedasticidad 1, 2, 3 — valor de la varianza) · Matriz P: (1/√valor de la varianza)

Contrastes de diagnóstico del modelo

Test de White (heterocedasticidad)

White: resid² regresado; χ²_k−1 = N · R²

H₀: El modelo no presenta perturbaciones heterocedásticas.

Se mira el estadístico contenido en Obs y la probabilidad de χ², que están en la misma línea. No podemos rechazar H₀ si el modelo presenta perturbaciones homocedásticas.

Test de Jarque-Bera (normalidad)

JB: (n − k) · [(coef. asimetría²)/6 + ((coef. curtosis − 3)²)/24]

H₀: El modelo se distribuye como una normal.

Estadístico F > 5.99 o probabilidad < 0.05 → rechazo. Si no, no podemos rechazar H₀: las perturbaciones se distribuyen como una normal.

Test RESET de Ramsey (forma funcional)

Restricción: (e'e_M0 − e'e_M1) / q / [e'e_M1 / (n − k)]

H₀: La forma funcional es correcta.

Probabilidad < 0.05 → rechazo. Si no, no podemos rechazar H₀.

Predicción

Valor esperado puntual: Ŷ_n+1 = X_n+1 β̂

Intervalo de predicción: Valor esperado ± V.C. · s(e_i)

V.C. = t_n−k; H₀: si el valor cae dentro del intervalo, no se rechaza.

s(e_i²): X_n+1 (X'X)⁻¹ X'_n+1 · s(e_i): √(s²(e_i)) · √Var

Medidas de error de predicción

• MAPE (Peam): (Σ|e_i / real| / h) · 100 — 0-3: buena capacidad predictiva; 3-9: normal; >9: mala.
• MAE (Eam): Σ|e_i| / h
• RECM: √(Σe_i² / h)
• Coeficiente de Theil: RECM / [√(Σreal² / h) + √(Σpredicho² / h)]
• Cofactores de Theil: valor de las unidades distribuidas de forma similar entre sesgo, varianza y covarianza.

Variable de mayor influencia

Influencia: β_x · (S_Xn / S_Y)

S_X o S_Y: √(Σ X_n o Σ Y / t)

Modelo estandarizado

Y / S_Y = nº de β₂ · x₂_t / S_x2 + nº de β₃ · x₃_t / S_x3

Error estándar y diferencias

Error estándar: (+VC · EEs = ID) − (−VC · EEs = II) = EEs = Valor "IID" / Valor VC

Variables en EViews (referencia práctica)

• Var + importante: c(nº var) · @stdev(variable) / @stdev(log(endógena)) si tiene logaritmo.
• Diferencial esperado: @expand(variable, @drop(nº eti_referencia))
• Intervalo de confianza: valor de N añadida ± 1.96 · desviación del N añadido.
• Se añaden valores en Range, se introducen en las variables, se estima Forecast 85 86, se añade DesF y se genera la variable con el valor del nuevo y las desviaciones.
• Capacidad predictiva (Peam): en las últimas 10 observaciones, cambiamos en Sample quitando 1 (70) y Forecast 71 80.